domingo, 10 de mayo de 2009

R: Distribución de Poisson

En este apartado, se explicarán las funciones existentes en R para obtener resultados válidos que se basen en la distribución de Poisson de variables aleatorias discretas.

Ya que aquí sólo se expondrá cómo es el manejo de las funciones, se recomienda que se visite el capítulo: Variables Aleatorias Discretas y Distribuciones de Probabilidad, para determinar en qué consiste dicha distribución.

Para obtener valores que se basen en la distribución de Poisson, R, dispone de cuatro funciones:

R: Distribución de Poisson.
dpois(x, lambda, log = F)Devuelve resultados de la función de densidad.
ppois(q, lambda, lower.tail = T, log.p = F)Devuelve resultados de la función de distribución acumulada.
qpois(p, lambda, lower.tail = T, log.p = F)Devuelve resultados de los cuantiles de Poisson.
rpois(n, lambda)Devuelve un vector de valores de Poisson aleatorios.


Los argumentos que podemos pasar a las funciones expuestas en la anterior tabla, son:
  • x: Vector de cuantiles (valor entero positivo).
  • q: Vector de cuantiles.
  • p: Vector de probabilidades.
  • n: Números de valores aleatorios a devolver.
  • prob: Probabilidad de éxito en cada ensayo.
  • lambda: Vector de medias (valor no negativo).
  • log, log.p: Parámetro booleano, si es TRUE, las probabilidades p son devueltas como log (p).
  • lower.tail: Parámetro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabilidades son P[X ≤ x], de lo contrario, P [X > x].

Para comprobar el funcionamiento de estas funciones, usaremos un ejemplo de aplicación.

Imaginemos el siguiente problema: La centralita telefónica de un hostal, recibe un número de llamadas por minuto que sigue una distribución de Poisson con parámetro ʎ = 0.5. Determinar:

a) La probabilidad de que en un minuto al azar, se reciba una única llamada.

b)
La probabilidad de que en un minuto al azar, se reciban un máximo de dos llamadas.

c)
La probabilidad de que en un minuto al azar, se reciban más de tres llamadas por minuto.

d) Se reciban cinco llamadas en dos minutos
.

e) El número de llamadas por minuto, mínimo que debe recibir la centralita para que exista una probabilidad del 98.5%.


Sea la variable aleatoria discreta X, el número de llamadas por minuto que recibe una centralita telefónica de un hostal.

Dicha variable aleatoria, sigue una distribución de Poisson: X ~ P(0.5)


Apartado a)

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X = 1), por lo tanto, sólo necesitamos el valor que toma X en el punto 1 de la función de densidad:

> dpois(c(1), 0.5)
[1] 0.3032653

Por lo tanto, la probabilidad de que en un minuto al azar, se reciba una única llamada es: 0.3032653.


Apartado b)

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X ≤ 2), por lo tanto, necesitamos obtener la suma de las probabilidades: P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2), y para obtenerlo de forma automática, usamos la función de distribución acumulada:

> ppois(c(2), 0.5)
[1] 0.9856123

Por lo tanto, la probabilidad de que en un minuto al azar, se reciban un máximo de dos llamadas: 0.9856123.


Apartado c)

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X > 3), operando la desigualdad, es lo mismo que: 1 - P( X ≤ 3). Pero realmente, la función ppois() dispone del argumento tower.tail para definir la cola de probabilidad:

> ppois(c(3), 0.5, lower.tail=F)
[1] 0.001751623

Por lo tanto, la probabilidad de que en un minuto al azar, se reciban más de tres llamadas es: 0.001751623.


Apartado d)

Si en un minuto la media es ʎ = 0.5, en dos minutos, será el doble: ʎ = 0.5 · 2 = 1, por lo tanto:

> dpois(c(5), 1)
[1] 0.003065662

Por lo tanto, la probabilidad de que en dos minuto al azar, se reciban cinco llamadas es: 0.003065662.


Apartado e)

En este apartado debemos obtener el valor de la variable aleatoria X, dada la probabilidad 0.985:

> qpois(0.985, 0.5)
[1] 2

Esto quiere decir, que el número de llamadas por minuto mínimas que se necesitan para obtener una probabilidad del 98.5% es de dos llamadas por minuto.

Y se puede comprobar, viendo el resultado del Apartado b).

Como hemos podido comprobar, R dispone de varias funciones que satisfacen cualquier cálculo y operación que se desee realizar sobre distribuciones de Poisson discretas.

Por supuesto, se recomienda que se emplee la ayuda de R para ampliar conocimientos sobre las funciones expuestas en este capítulo.

> ?stats::Poisson

1 comentarios:

Natalia dijo...

Muchas gracias por toda la ayuda. este blog me ha servido mucho para mis trabajos y aprendizaje. Creo que es muy claro :)