Problema11: Fiabilidad

Ej11. La función de densidad de probabilidad del tiempo de fallo de un dispositivo es:

f(t) = 0.5·e^-0.5t

Para t ≥ 0, t en meses, determinar:

a) La fiabilidad a los tres meses.

b) ¿Cuál es la vida media del componente?

c) Calcular la tasa de fallos a los tres y a los seis meses.

d) Si se conectan cinco de esos componentes para formar el sistema de la figura, calcula la fiabilidad del mismo a los tres meses.

Apartado a)

Para obtener la fiabilidad a los tres meses, debemos, previamente calcular la función de fiabilidad genérica. Para ello, emplearemos la relación de la función de densidad y la función de fiabilidad:

R(t) = 1 - F(t)

Integrando la función de probabilidad entre 0 y t, obtenemos la función de densidad acumulada:

Realizamos el cambio de variable:

· m = -0.5·x
· dm = -0.5·dx

Sustituimos:

Deshacemos el cambio de variable:

· m = -0.5·x

Y obtenemos la función de fiabilidad:

Por lo tanto, a los tres meses:

R(3) = e^-0.5·3 ≈ 0.223130

Apartado b)

Operamos en la función de la vida media:

Realizamos el cambio de variable:

· x = -0.5·t
· dx = -0.5·dt

Y seguimos operando:

Deshacemos el cambio de variable:

· x = -0.5·t

Y finalmente, obtenemos:

Por lo tanto, la vida media del componente es de 2 meses.


Apartado c)

La tasa de fallos es, por definición:

Vemos que la tasa de fallos es constante para cualquier instante de t, esto es así porque sigue una distribución exponencial.


Apartado d)

Para este apartado, iremos reduciendo el circuito dado dependiendo, si los componentes están en serie o paralelo:

Tanto I como II están compuestos por dos componentes iguales que están en serie:

· R_I(t) = e^-(0.5+0.5)t = e^-t
· R_II(t) = e^-(0.5+0.5)t = e^-t

El circuito queda tal y como se muestra en la siguiente figura:

Ahora, los componentes I y II están en paralelo:

· R_III(t) = 1 - (1 - R_I)(1- R_II) = 1 - (1 - e^-t₎(1 - e^-t₎ = 1 - (1 - e^-t - e^-t + e^-2t₎ = 2e^-t - e^-2t

El circuito equivalente es:

Ambos componentes están en serie, por lo tanto, la función de fiabilidad del sistema es:

· R_IV(t) = e^-0.5t·(2e^-t - e^-2t) = 2e^-1.5t - e^-2.5t

Y como en este apartado, nos piden obtener la fiabilidad a los tres meses:

R_IV(3) = 2e^-1.5·3 - e^-2.5·3 ≈ 0.021665