Problema1: Cartas de Control

Ej1. En la tabla que sigue, se enumeran veinte muestras de tamaño 5 junto con sus medias y recorridos, de una característica de calidad de cierto artículo.

Muestra	X	R		Muestra	X	R
1	2.3972	0.0052		11	2.3887	0.0082
2	2.4191	0.0117		12	2.4107	0.0032
3	2.4215	0.0062		13	2.4009	0.0077
4	2.3917	0.0089		14	2.3992	0.0107
5	2.4151	0.0095		15	2.3889	0.0025
6	2.4027	0.0101		16	2.1407	0.0138
7	2.3921	0.0091		17	2.4109	0.0037
8	2.4171	0.0069		18	2.3944	0.0052
9	2.3951	0.0068		19	2.3951	0.0038
10	2.4215	0.0048		20	2.4015	0.0017

Determinar:

a) Los límites de control y la línea central de la carta X de esta característica de calidad.

b) Los límites de control y la línea central de la carta de control R.

c) Traza las gráficas de control de dichas cartas, ¿parece estar bajo control el proceso?


Apartado a)

Realizamos una recopilación de los datos ofrecidos por el enunciado del problema:

· Se desconoce μ y σ.
· Tamaño de la muestra: n = 5.
· Número de muestras: m = 20.

Nos piden obtener la carta de control de medias X, cuyos límites de control son:

·

·

·

Donde A₂ y d₂, están tabulados para varios valores de n, en nuestro caso, n = 5, consultamos en la tabla:

· A₂ = 0.577
· d₂ = 2.326

Siendo:

·

Ya disponemos de todos los datos necesarios para obtener los límites de control de la carta de medias X, empezamos por la línea central:

·

Y posteriormente, obtenemos los límites superior e inferior de control:

· LSC = μ + A₂·R = 2.39021 + 0.577·0.006985 ≈ 2.394240
· LIC = μ - A₂·R = 2.39021 - 0.577·0.006985 ≈ 2.386180

Como resumen, los límites de control para la carta X son:

· LSC = 2.394240
· LC = 2.39021
· LIC = 2.386180


Apartado b)

En este apartado, nos piden obtener la carta de control de rangos R, cuyos límites de control son:

Donde D₄ y D₃, están tabulados para varios valores de n, en nuestro caso, n = 5, consultamos en la tabla:

· D₄ = 2.115
· D₃ = 0

Calculamos los límites de control de la carta R:

· LSC = D₄·R = 2.115·0.006985 ≈ 0.014773
· LC = R = 0.006985
· LIC = D₃·R = 0·0.006985 = 0


Apartado c)

Debemos representar las cartas de control calculadas en los apartados anteriores, pero antes, debemos obtener los límites σ y 2·σ de las mismas para su posterior análisis mediante el método: Western Electric Handbook 1956.

Para obtener los límites de advertencia σ y 2σ, existen dos formas, una es mediante una simple regla de tres, y la otra, algo más sofisticada, es obteniendo el valor de σ.

En este caso, vamos a calcular el valor de σ para obtener los límites de control de advertencia.

- Para la carta X:

Sigma: σ = R/d₂ = 0.006985/2.326 ≈ 0.003003

Por lo tanto, los límites de advertencia de control 2σ son:

· X + 2·σ/√n = 2.39021 + 2·0.003003/√5 = 2.392896
· X - 2·σ/√n = 2.39021 - 2·0.003003/√5 = 2.387524

Para los límites de advertencia de control σ son:

· X + σ/√n = 2.39021 + 0.003003/√5 = 2.391553
· X - σ/√n = 2.39021 - 0.003003/√5 = 2.388867

Y en este momento, estamos en disposición de realizar la gráfica de control X:

En esta gráfica de control, no es interesante realizarla con mucho detalle ya que en su comienzo observamos que puntos están fuera de las líneas de control superior, por lo tanto, dicho proceso está fuera de control.

- Para la carta R:

Despejamos σ_w de D₄ y D₃:

·

·

Hay que tener en cuenta, que D₄ corresponde a la parte superior de la LC y D₃ a la parte inferior de la LC.

Por lo tanto, σ_w son:

· Superior: σ_ws ≈ 0.864497
· Inferior: σ_wi ≈ 0.775333

Y el valor real de sigma está expresado:

·

Por lo tanto:

· Superior: σ_Rs = 0.864497·0.006985/2.326 ≈ 0.002596
· Inferior: σ_Ri = 0.775333·0.006985/2.326 ≈ 0.002328

Los límites de advertencia de control 2σ son:

· R + 2·σ_Rs = 0.006985 + 2·0.002596 = 0.012177
· R - 2·σ_Ri = 0.006985 - 2·0.002328 = 0.002329

Para los límites de advertencia de control σ son:

· R + σ_Rs = 0.006985 + 0.002596 = 0.009581
· R - σ_Ri = 0.006985 - 0.002328 = 0.004657

Y en este momento, estamos en disposición de realizar la gráfica de control R:

Una vez dibujada la gráfica de control, pasamos a su análisis. En un primer vistazo observamos que todos los puntos están dentro de los límites de control 3σ.

Pero el proceso está fuera de control ya que existen 4 de 5 puntos consecutivos que se encuentra a una distancia σ o más de la línea central. Los puntos son:

· 12: 2σ
· 13: σ
· 14: 2σ
· 15: 2σ
· 16: LSC

Por lo tanto, tanto la el proceso X como el R están fuera de control.