Ej27. Simbolice con X la cantidad de tiempo de préstamo para un libro, disponible durante 2 horas en la biblioteca de la universidad, solicitado por un estudiante seleccionado al azar, y suponga que X tiene función de densidad:
Hallar:
a) P(X ≤ 1).
b) P(0.5 ≤ X ≤ 1.5)
c) P(X > 1.5)
Lo primero que vamos a calcular, es la función de distribución acumulada:
En nuestro caso, el intervalo que tenemos que realizar cálculos es 0 ≤ X ≤ 2:
Por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:
> f = 0.25*x^2
> x <- seq(0,2, by=0.1)
> plot(x, f, type="l", xlab="x", ylab="F(X)", main="Función de Distribución Acumulada, F(X)", col=2)
> x2 <- seq(-1,0)
> y <- rep(0,length(x2))
> lines(x2,y,col=2)
> x3 <- seq(2,3)
> y1 <- rep(1,length(x3))
> lines(x3,y1,col=2)
Para la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, se utilizará el programa R.
> y = 0.5*x
> plot(x, y, type="l", xlab="x", ylab="f(X)", main="Función de Densidad de Probabilidad, f(X)", col=3)
> x1 <- seq(-1,0)
> y1 <- rep(0,length(x1))
> lines(x1,y1,col=3)
> x2 <- seq(2,3)
> y2 <- rep(0,length(x2))
> lines(x2,y2,col=3)
A partir de ahora, podemos pasar a resolver los distintos enunciados del problema.
Apartado a)
Para obtener la probabilidad dada, empleamos la expresión de la función de densidad acumulada en el intervalo: 0 ≤ X ≤ 2, por lo tanto:
P(X ≤ 1) = F(1) = 0.25·12 = 0.25
Apartado b)
Para obtener la probabilidad dada, empleamos, al igual que en el apartado anterior, la expresión de la función de densidad acumulada en el intervalo: 0 ≤ X ≤ 2, por lo tanto:
P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) = F(1.5) - F(0.5) = 0.25·1.52 - 0.25·0.52 = 0.5
Apartado c)
Para obtener la probabilidad dada, empleamos, al igual que en los apartados anteriores, la expresión de la función de densidad acumulada en el intervalo: 0 ≤ X ≤ 2, por lo tanto:
P(X > 1.5) = 1 - P(X ≤ 1.5) = 1 - F(1.5) = 1 - 0.25·1.52 = 0.4375
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