Ej12. En una planta se destila aire líquido para producir oxígeno, nitrógeno y argón. Se cree que el porcentaje de impurezas del oxígeno esta relacionado con la cantidad de impurezas que hay en el aire (medida mediante el conteo en partes por millón).
Se midió la cantidad de impurezas en 8 muestras de aire líquido y la pureza del oxígeno obtenido a partir de este, con los siguientes resultados:
P..
93.3. 92. 92.4.
91.7.
94.
94.6.
93.6.
93.1.
C
1.1 1.45
1.36
1.59
1.08
0.75
1.2
0.99
Siendo:
· P ≡ Pureza del Oxígeno (%).
· C ≡ Contaminación (ppm).
Determinar:
a) Ajusta un modelo de regresión lineal simple utilizando la técnica de mínimos cuadrados que relacione la pureza del oxígeno y la contaminación del aire, del tipo P = a+bC.
b) Obtener el coeficiente de correlación.
c) Utilizar el modelo para hallar la predicción de la pureza del oxígeno cuando el aire líquido presenta una contaminación de 1.5 ppm.
Las variables son:
· P ≡ y.
· C ≡ x.
Realizamos una recopilación de datos que podemos extraer de la tabla dada, ya que posteriormente serán de gran utilidad.
· n = 8
· 
· 
· 
· 
· 
Pasamos a resolver los distintos apartados del problema.
Apartado a)
Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:
Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx:
·
·
Por lo tanto, la pendiente es:
Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada:
Sustituimos valores:
Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:
· y ≡ Pureza del Oxígeno (%).
· x ≡ Contaminación (ppm).
Apartado b)
Para obtener el coeficiente de correlación, empleamos su expresión matemática:
Debemos obtener el valor de Syy:
·
Sustituimos valores y obtenemos el resultado del coeficiente de determinación:
Al estar próximo a -1, la regresión es significativa, es decir, existe gran relación lineal entre las variables.
Apartado c)
Para obtener el valor ajustado de y cuando x = 1.5, empleamos la ecuación de regresión ajustada:
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