Problema45: Probabilidad

Ej45. Una población está formada por tres grupos étnicos: A (30%), B (10%) y C (60%). Los porcentajes del carácter 'ojos claros' son , respectivamente: 20%, 40% y 5%.

Determinar:

a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga los ojos claros.

b) La probabilidad de que un individuo de ojos claros sea de A.

c) Si un individuo elegido al azar tiene los ojos claros, ¿a qué grupo es más probable que pertenezca?.


Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· A ≡ 'Grupo étnico A'.
· B ≡ 'Grupo étnico B'.
· C ≡ 'Grupo étnico C'.
· O ≡ 'Ojos claros'.

· P(A) = 0.3.
· P(B) = 0.1.
· P(C) = 0.6.

· P(O|A) = 0.2.
· P(O|B) = 0.4.
· P(O|C) = 0.05.

Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.


Apartado a)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de tener los ojos claros, independientemente del grupo étnico al que pertenezca el individuo, para ello, debemos emplear el teorema de la Probabilidad Total:

P(O) = P(O|A)·P(A) + P(O|B)·P(B) + P(O|C)·P(C) = 0.2·0.3 + 0.4·0.1 + 0.05·0.6 = 0.13

Por lo tanto, la probabilidad de tener los ojos claros, independientemente del grupo étnico al que pertenezca el individuo elegido al azar, es de 0.13, una probabilidad baja.


Apartado b)

En esta ocasión, debemos obtener la probabilidad de dado que un individuo tenga los ojos claros, sea del del grupo étnico A, para resolver este apartado, emplearemos la Ley de Bayes:

Sustituimos valores para obtener la solución:

Por lo tanto, la probabilidad de dado que un individuo tenga los ojos claros, sea del del grupo étnico A es de, aproximadamente, 0.461538.


Apartado c)

Para saber a que grupo es más probable que pertenezca un individuo elegido al azar que tenga los ojos claros, debemos emplear, cómo en el apartado anterior, la Ley de Bayes para los grupos étnicos B y C, y posteriormente, dar una decisión dependiendo de los resultados obtenidos.

· Para el grupo étnico A:

Calculado en el apartado anterior, el resultado es de: P(A|O) ≈ 0.461538.

· Para el grupo étnico B:

Aproximadamente es: P(B|O) ≈ 0.307692.

· Para el grupo étnico C:

Aproximadamente es: P(C|O) ≈ 0.230769.


Por lo tanto, el grupo étnico más probable al que pertenezca un individuo elegido al azar, posea los ojos claros es el grupo étnico A.