Problema50: Probabilidad

Ej50. En una urna hay 3 naranjas, 4 limones y 5 pomelos, todos del mismo tamaño. Se extraen, sucesivamente, dos piezas con reemplazamiento, volviendo a introducir el cítrico antes de la nueva extracción.

Se pide la probabilidad de:

a) Obtener dos naranjas, obtener dos pomelos y la de obtener primero, un limón y después un pomelo.

b) Obtener un limón y un pomelo pero sin especificar el orden.
c) Obtener dos pomelos, obtener un limón en la primera extracción y un pomelo en la segunda pero esta vez, se efectúan las extracciones sin reemplazamiento.

d) Si se extraen tres cítricos consecutivamente sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que sean tres naranjas.
e) Si se extraen tres cítricos consecutivamente sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que el primero sea un limón, el segundo un pomelo y el tercero una naranja.


Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· N ≡ 'Naranjas'. Hay 3 naranjas.
· L ≡ 'Limones'. Hay 4 limones.
· P ≡ 'Pomelos'. Hay 5 pomelos.

Por lo tanto, el número total de cítricos es de: 3+4+5 = 12.

· P(N) = 3/12.
· P(L) = 4/12.
· P(P) = 5/12.

Las tres piezas de frutas se entiende que son sucesos independientes, ya que no influyen unas de otras.

Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.


Apartado a)

Este apartado, tenemos que tener en cuenta que cuando sacamos una pieza de fruta, seguidamente la introducimos en la urna, por lo que las probabilidades posteriores, no cambian.

Esto es lo mismo que decir que sacamos cítricos con reemplazamiento, tal y cómo nos dicta el enunciado del problema.

· Dos Naranjas consecutivas:

P(N∩N) = 3/12 · 3/12 = 9/144 = 1/16

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos naranjas consecutivamente y con reemplazamiento, es de 0.0625, una probabilidad baja.

· Dos Pomelos consecutivas:

P(P∩P) = 5/12 · 5/12 = 25/144

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos pomelos consecutivamente y con reemplazamiento, es de, aproximadamente 0.173611.

· Un Limón y un pomelo consecutivas:

En este caso, al ser con reemplazamiento, la probabilidad de cada pieza sigue siendo la misma.

P(L∩P) = P(P∩L) = 4/12 · 5/12 = 5/36

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un limón y un pomelo consecutivamente y con reemplazamiento, es de, aproximadamente 0.138889.


Apartado b)

Debemos obtener la probabilidad de obtener un limón y un pomelo pero sin importar el orden. El espacio muestral que tenemos es el siguiente:

A ≡ {L∩P, P∩L}

Para ambos casos, la probabilidad de obtener un limón y un pomelo indistintamente del orden es de 5/36, tal y cómo se calculó en el apartado anterior.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un limón y un pomelo sin especificar el orden es de:

P(A) = P[(L∩P) U (P∩L)] = 2·P(L∩P) = 2·(5/36) = 5/18

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un limón y un pomelo consecutivamente con reemplazamiento y sin importar el orden, es de, aproximadamente 0.277778.


Apartado c)

Este apartado, tenemos que tener en cuenta que cuando sacamos una pieza de fruta, seguidamente, no se vuelve a introducir en la urna, por lo que las probabilidades posteriores, cambian.

Esto es lo mismo que decir que sacamos cítricos sin reemplazamiento.

· Dos Pomelos consecutivas:

P(P∩P) = 5/12 · 4/11 = 5/33

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos pomelos consecutivamente y sin reemplazamiento, es de, aproximadamente 0.151515.

· Un Limón y un pomelo consecutivas:

P(L∩P) = 4/12 · 5/11 = 5/33

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un limón y un pomelo consecutivamente y sin reemplazamiento, es de, aproximadamente 0.151515.


Apartado d)

Este apartado, tenemos que tener en cuenta que cuando sacamos una pieza de fruta, seguidamente, no se vuelve a introducir en la urna, por lo que las probabilidades posteriores, cambian.

Esto es lo mismo que decir que sacamos cítricos sin reemplazamiento.

Nos piden obtener la probabilidad de al sacar de la urna tres cítricos, sean tres naranjas:

P(N∩N∩N) = (3/12)·(2/11)·(1/10) = 1/220

Por lo tanto, la probabilidad de obtener tres naranjas consecutivamente y sin reemplazamiento, es de, aproximadamente 0.004545, una probabilidad muy baja.


Apartado e)

Este apartado, tenemos que tener en cuenta que cuando sacamos una pieza de fruta, seguidamente, no se vuelve a introducir en la urna, por lo que las probabilidades posteriores, cambian.

Esto es lo mismo que decir que sacamos cítricos sin reemplazamiento.

Nos piden obtener la probabilidad de al sacar de la urna tres cítricos, el primero sea un limón, el segundo un pomelo y el tercero una naranja:

P(L∩P∩N) = (4/12)·(5/11)·(3/10) = 1/22

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un limón, un pomelo y una naranja consecutivamente y sin reemplazamiento, es de, aproximadamente 0.045454, una probabilidad baja.