Problema7: Laplace Tablas

Ej7. Obtenga la transformada de Laplace de la siguiente función.

f(t) = e^-2t·cos(t·√3) - t²·e^-2t

Lo primero que haremos es aplicar la ley de linealidad:

L{e^-2t·cos(t·√3) - t²·e^-2t} = L{e^-2t·cos(t·√3)} - L{t²·e^-2t}

Para resolver la transformada, emplearemos tanto las tablas como las propiedades de esta herramienta.

· Transformada de Laplace de la función : f(t) = e^-2t·cos(t·√3), aplicaremos la propiedad de Traslación:

L{e^ax·f(x)} = F(s - a)

Siendo:

· f(x) = f(t) = cos(t·√3)
· a = -2

Por lo tanto, lo que tenemos que hallar es:

L{cos(t·√3)} = s/(s²+k²)

Siendo k = √3.

Realizando el cambio de variable de la propiedad de Traslación: s = (s-a) = (s-(-2)) = (s+2).

Obtenemos la transformada de este miembro:

· Transformada de Laplace de la función: f(t) = t²·e^-2t , aplicaremos la propiedad de la Potencia de la variable dependiente:

Siendo:

· f(x) = f(t) = e^-2t
· n = 2.

Lo que tenemos que hallar es:

L{e^-2t} = 1/(s-k)

Siendo k = -2.

Por lo tanto, empleando la expresión de la propiedad:

En estos momentos, disponemos de todos los datos necesarios para obtener la Transformada de Laplace dada, simplemente, sustituimos valores:

Este problema se puede resolver por tablas, pero la intención es mostrar cómo simplificar mediante las propiedades de la transformada, para resolverla de forma fácil.