sábado, 27 de febrero de 2010

Problema7: Laplace Tablas

Ej7. Obtenga la transformada de Laplace de la siguiente función.

f(t) = e-2t·cos(t·√3) - t2·e-2t


Lo primero que haremos es aplicar la ley de linealidad:

L{e-2t·cos(t·√3) - t2·e-2t} = L{e-2t·cos(t·√3)} - L{t2·e-2t}

Para resolver la transformada, emplearemos tanto las tablas como las propiedades de esta herramienta.

· Transformada de Laplace de la función : f(t) = e-2t·cos(t·√3), aplicaremos la propiedad de Traslación:

L{eax·f(x)} = F(s - a)

Siendo:

· f(x) = f(t) = cos(t·√3)
· a = -2

Por lo tanto, lo que tenemos que hallar es:

L{cos(t·√3)} = s/(s2+k2)

Siendo k = √3.

Realizando el cambio de variable de la propiedad de Traslación: s = (s-a) = (s-(-2)) = (s+2).

Obtenemos la transformada de este miembro:



· Transformada de Laplace de la función: f(t) = t2·e-2t , aplicaremos la propiedad de la Potencia de la variable dependiente:



Siendo:

· f(x) = f(t) = e-2t
· n = 2.

Lo que tenemos que hallar es:

L{e-2t} = 1/(s-k)

Siendo k = -2.

Por lo tanto, empleando la expresión de la propiedad:



En estos momentos, disponemos de todos los datos necesarios para obtener la Transformada de Laplace dada, simplemente, sustituimos valores:



Este problema se puede resolver por tablas, pero la intención es mostrar cómo simplificar mediante las propiedades de la transformada, para resolverla de forma fácil.

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