sábado, 6 de marzo de 2010

Problema8: Inversa de Laplace

Ej8. Obtenga la transformada inversa de Laplace de la siguiente función.




El denominador presenta la siguiente estructura:

a·s2 + b·s + c

Identificamos los elementos:

· a = 1
· b = 3
· c = 4

Podemos completar cuadrados si la agrupamos de la siguiente forma:

a·(s+k)2 + h2

Siendo:

·

·

Por lo tanto, la función dada por el enunciado quedará de la siguiente forma:



Expandimos la función de tal manera que sea más o menos reconocible por una de las funciones dadas en las tablas:



Miramos las tablas y buscamos una transformada que presente similitud a la obtenida, en nuestro caso, la que nos interesa es la que se muestra a continuación.

• Primer Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = eb·x·cos(k·x)

L{eb·x·cos(k·x)} = (s-b)/[(s-b)2+k2]

Siendo:

· b = -3/2.
· k = √7/2.

• Segundo Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = eb·x·sin(k·x)

L{eb·x·sin(k·x)} = k/[(s-b)2+k2]

Siendo:

· b = -3/2.
· k = √7/2.

Debemos adaptar la función para que se asemeje a la que queremos obtener:



Expandimos la función:



La antitransformada del primer y tercer miembro es inmediata:



El segundo miembro, presenta la siguiente forma:

• Segundo Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = eb·x·sin(k·x)

L{eb·x·sin(k·x)} = k/[(s-b)2+k2]

Siendo:

· b = -3/2.
· k = √7/2.

Adaptamos la función para resolverla:



Manipulamos la función:



Obtener la transformada inversa es inmediata:



Simplificamos:



Normalmente, como se suele observar en este problema, para obtener la transformada inversa deberemos manipular la expresión para llegar a una solución adecuada.

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