Problema8: Inversa de Laplace

Ej8. Obtenga la transformada inversa de Laplace de la siguiente función.

El denominador presenta la siguiente estructura:

a·s² + b·s + c

Identificamos los elementos:

· a = 1
· b = 3
· c = 4

Podemos completar cuadrados si la agrupamos de la siguiente forma:

a·(s+k)² + h²

Siendo:

·

·

Por lo tanto, la función dada por el enunciado quedará de la siguiente forma:

Expandimos la función de tal manera que sea más o menos reconocible por una de las funciones dadas en las tablas:

Miramos las tablas y buscamos una transformada que presente similitud a la obtenida, en nuestro caso, la que nos interesa es la que se muestra a continuación.

• Primer Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = e^b·x·cos(k·x)

L{e^b·x·cos(k·x)} = (s-b)/[(s-b)²+k²]

Siendo:

· b = -3/2.
· k = √7/2.

• Segundo Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = e^b·x·sin(k·x)

L{e^b·x·sin(k·x)} = k/[(s-b)²+k²]

Siendo:

· b = -3/2.
· k = √7/2.

Debemos adaptar la función para que se asemeje a la que queremos obtener:

Expandimos la función:

La antitransformada del primer y tercer miembro es inmediata:

El segundo miembro, presenta la siguiente forma:

• Segundo Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = e^b·x·sin(k·x)

L{e^b·x·sin(k·x)} = k/[(s-b)²+k²]

Siendo:

· b = -3/2.
· k = √7/2.

Adaptamos la función para resolverla:

Manipulamos la función:

Obtener la transformada inversa es inmediata:

Simplificamos:

Normalmente, como se suele observar en este problema, para obtener la transformada inversa deberemos manipular la expresión para llegar a una solución adecuada.