Problema69: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej69. Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche en una provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de tal forma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche.

Se pide:

a) Determinar un intervalo de confianza para la proporción de la población que poseen coche.

b) Si se desease estimar dicha proporción con una precisión de 0.02, ¿a cuántas personas se debería encuestar?.

· NOTA: Emplear un nivel de confianza del 95%.



Realizamos un recopilatorio de los datos ofrecidos en el enunciado del apartado:

· X ≡ 'Proporción de personas que poseen coche en una provincia determinada'.
· P(X) = 30/100 = 0.3.

Pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema


Apartado a)

Nos piden realizar un intervalo de confianza de proporción, debemos verificar las siguientes condiciones:

· n = 100 ≥ 30 OK.
· n·p = 100·0.3 = 30 ≥ 5 OK.
· n·q = 100·(1-0.3) = 70 ≥ 5 OK.

Obtenemos el parámetro α: 100(1 - α) = 95, despejamos: α = 0.05

· z_0.05/2 = z_0.025

Teniendo en cuenta las condiciones de la tabla de la Normal que se exponen en este blog:

0.5 - 0.025 = 0.475

Buscamos en la tabla de la Normal y obtenemos el valor: z = 1.96.

Por lo tanto, el intervalo de confianza a obtener es el siguiente:

Ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza para la proporción de personas que poseen coche en una determinada provincia al 95%, simplemente, sustituimos valores:

El intervalo de confianza es:

[0.210182, 0.389818]

Apartado b)

En este apartado emplearemos los datos de la proporción de personas que poseen coche para obtener el tamaño de la muestra necesaria que cumpla con estos requisitos siendo el error admisible 0.02.

El error para un intervalo de confianza de proporción es el siguiente:

Siendo:

· E = 0.02
· p = 0.3
· q = 1 - 0.3 = 0.7

Pues ya estamos en disposición de obtener el tamaño de muestra mínimo que cumpla con las especificaciones dadas, simplemente, despejamos el parámetro n y sustituimos valores:

Por lo tanto, el tamaño mínimo muestral que se debe seleccionar para cumplir con los requisitos dados es de 2017 personas.