Problema72: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej72. Se desea saber si el porcentaje de alumnos que aprueban todas las asignaturas de primer curso en primera convocatoria, en la carrera de Ingeniería Industrial, es el mismo en la Carlos III y en la Universidad Politécnica de Madrid.

Para ello se analiza una muestra de 100 expedientes, elegidos al azar, de cada universidad. De los 100 expedientes seleccionados de la Carlos III, el número de alumnos que aprobaron todas las asignaturas de primero en primera convocatoria fue de 22 mientras que en la Politécnica fue de 18.

¿Se puede concluir que la probabilidad de aprobar no es la misma en ambas universidades a un nivel del 95%?.


Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el enunciado del problema.

● Universidad Carlos III:

· ṗ₁ = 22/100 = 0.22.
· n₁ = 100.

● Universidad Politécnica de Madrid:

· ṗ₂ = 18/100 = 0.18.
· n₂ = 100.

Debemos realizar un contraste sobre diferencia de proporciones, pero para ello, se deben cumplir las siguientes condiciones:

· n₁·ṗ₁ = 100·0.22 = 22 ≥ 5...OK
· n₁·(1 - ṗ₁) = 100·(1 - 0.22) = 78 ≥ 5...OK

· n₂·ṗ₂ = 100·0.18 = 18 ≥ 5...OK
· n₂·(1 - ṗ₂) = 100·(1 - 18) = 82 ≥ 5...OK

· n₁ = 100 ≥ 30.. OK
· n₂ = 100 ≥ 30...OK

Se cumplen todos los requisitos.

Prueba de hipótesis sobre diferencia de proporciones:

El estadístico es:

Obtenemos el valor del estadístico:

Para comprobar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula, empleamos la región crítica, que para esta prueba es:

Z ≤ -z_α/2 , Z ≥ z_α/2

Obtenemos el parámetro α: 100(1 - α) = 95, despejamos: α = 0.05.

Para un nivel de significación de: α = 0.05, tenemos, en la tabla Normal:

· z_α/2 = z_0.05/2 = z_0.025

Teniendo en cuenta las condiciones de la tabla que dispone este blog, adecuamos el valor:

0.5 - 0.025 = 0.475

Buscamos en la tabla de la Normal y tenemos el valor: z = 1.96.

Realizamos una concepción gráfica de los datos hasta ahora obtenidos:

El valor del estadístico, 0.707992 se encuentra dentro de la región crítica (-1.96, 1.96), por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula

Esto quiere decir que, existen evidencias significativas de que la proporción de aprobados es la misma en ambas universidades.