Ej75. Sea x el consumo unitario de cierto material en un proceso productivo (miligramos por unidad de producto obtenido). Se sabe que x es normal de media μ y desviación típica σ = 20 mg.
Se toma una muestra aleatoria de 25 observaciones obteniéndose una media muestral del consumo de x = 120 mg.
Determinar:
a) A partir de esta información muestral, estimar mediante un intervalo con un 95% de confianza el consumo medio de este producto.
b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para que un intervalo del 95% de confianza tuviese una amplitud de 10mg?.
Realizamos un recopilatorio de los datos ofrecidos en el enunciado del problema:
· X ≡ 'Consumo unitario de cierto material en un proceso productivo'.
· Sigue una distribución Normal: X ~ N(120, 20).
· Tamaño de la muestra: n = 25.
Pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema.
Apartado a)
En este apartado nos piden realizar un intervalo de confianza para la media con varianza conocida y el tamaño de la muestra es menor que 30:
Para una confianza del 95%, obtenemos α:
Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.05. El siguiente paso es obtener el valor de la z:
Teniendo en cuenta las características de las tablas que dispone Aqueronte de la Normal, adecuamos dicho valor:
Tenemos que buscar el valor de z que satisfaga la probabilidad de 0.475, y dicho valor es: 1.96.
Por lo tanto, ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza de la media con un 95%, simplemente, sustituimos valores:
El intervalo de confianza bilateral al 95% es:
En este apartado debemos obtener el tamaño de la muestra necesaria para que la amplitud del intervalo sea de 10mg.
Operamos con la diferencia de los extremos del intervalo:
Nos queda despejar el parámetro n:
Por lo tanto, el tamaño de la muestra necesario para que la amplitud del intervalo de confianza al 95% sea de 10mg, debe de ser de 62.
0 comentarios:
Publicar un comentario