Problema3: Circuitos de 1º Orden

Ej3. El interruptor que se muestra en el siguiente circuito, ha estado en la posición A durante un largo período de tiempo. En t = 0, el interruptor se mueve a la posición B.

Obtener:

a) El valor de v(t).

b) La constante de tiempo del circuito.

c) El valor de v(t) para t = 1s y t = 4s.



Apartado a)

En este apartado nos piden obtener el valor de v(t) que se muestra en el enunciado del problema, para el ello, debemos hacer un análisis cuando el interruptor esté en la posición A y después, para la posición B.

· Interruptor en la Posición A:

El enunciado del circuito nos dice que el interruptor ha estado un largo período de tiempo en esta posición (posición A), por lo que suponemos que el condensador se ha cargado completamente y por ende, se comporta como un circuito abierto.

El circuito que tenemos es el siguiente:

Vamos a calcular la carga inicial del condensador, en este caso es fácil, empleamos un divisor de tensión:

· V_A = v(0^-) = 24·[5·10³/(3·10³ + 5·10³)] = 15 V

Esto quiere decir que, estando el interruptor en la posición A y habiéndose mantenido durante un largo período de tiempo, el condensador tendrá una carga de 15 V.


· Interruptor en la Posición B:

Según el enunciado del problema, el interruptor cambia de posición (de A a B) en el instante t = 0. El circuito que tenemos es el siguiente:

Para realizar el análisis hay que tener en cuenta que el condensador tiene una carga inicial (obtenida cuando el interruptor estaba en la posición A por un largo período de tiempo) y ésta es menor que la fuente de tensión de 30 V, por lo que la intensidad circulará tal y cómo se muestra en la figura anterior.

Para este caso, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (v_n) y por el otro: El régimen permanente (v_p). La solución general será del tipo:

· v(0⁺) = v_p + v_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.

· Régimen Permanente:

Este caso, el interruptor permanece en la posición B durante un largo período de tiempo, por lo que, el condensador se cargará completamente y se comportará como un circuito abierto.

La tensión entre bornas del condensador será: v_p = 30 V.

Es fácil, el condensador se cargará hasta la tensión máxima que proporciona el circuito, en este caso, hasta la tensión de la fuente de tensión independiente de 30 V.


· Régimen Transitorio:

El condensador se está cargando, realizamos un análisis del circuito anterior empleando LVK:

· [Ec1] v_n + i_c·4·10³ - 30 = 0

Dónde:

· i_c = C·Dv_n

Sustituimos el valor en [Ec1]:

· v_n + 2·Dv_n = 30

Dividimos por 2 la expresión anterior:

· Dv_n + 0.5·v_n = 15

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:

· [Ec2] Dv_n + 0.5·v_n = 0

Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_n(t) = k·e^-A·t

Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:

- k·A·e^-A·t +0.5·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0 (es el instante justo que el interruptor pasa de la posición A a la B), por lo tanto:

- k·A + 0.5·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 0.5

Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del condensador.

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

En el instante t = 0:

· v(0^-) = v(0⁺)

Por lo tanto:

· 15 = v_p + v_n = 30 + k·e^-0.5·t = {t = 0} = 30 + k

Despejamos k:

· k = 15 - 30 = - 15

Así que, una expresión para la tensión del condensador es:

· v(t) = 30 - 15·e^-0.5·t , t ≥ 0

Una representación gráfica de cómo se comporta dicha tensión, se muestra en la siguiente figura:

Apartado b)

En este caso, obtener la constante de tiempo es bastante fácil:

· τ = 1/A = 1/0.5 = 2 s

Por lo tanto, la constante de tiempo es 2 s.


Apartado c)

En este apartado, nos piden obtener el valor de la tensión v(t) para un par de instantes concretos.

· Para t = 1s:

· v(1) = 30 - 15·e^-0.5·1 ≈ 20.90204 V.

· Para t = 4s:

· v(4) = 30 - 15·e^-0.5·4 ≈ 27.969971 V.

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Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 3: Transitorios de 1º Orden

Problema 3 Problema 3 Problema 3

La simulación no es fiel a las especificaciones del problema, ya que, entre otras cosas, simular un interruptor en LTSpice es algo complicado. Aún así, se puede ver perfectamente cómo evoluciona la tensión del condensador y obtener la constante de tiempo del circuito.