Problema34: Análisis de Regresión

Ej34. Los datos reflejados en la siguiente tabla relacionan los niveles de concentración de una sustancia, presentes en 6 muestras, con la respuesta observada en un colorímetro:

x.	4.2450	5.9480	12.8650	26.6660	35.1860	50.6510
y	0.0280	0.0440	0.0680	0.0920	0.1095	0.1295

El objetivo es encontrar una curva de calibración del tipo: y = α·e^βx, que permita determinar la concentración a partir de la respuesta observada en el colorímetro.

Determinar el valor de α y de β.

NOTA: La variable x representa la respuesta del colorímetro y la variable y representa la concentración de la sustancia de la muestra. 

Este problema comparte los mismos datos que el Problema14 pero con distinta curva de calibración.



El modelo que nos ofrece el problema no es un modelo lineal simple, por lo que tenemos que adecuarlo, en este caso, actuamos mediante logaritmo neperiano:

Ln(y) = Ln(α·e^βx) = Ln(α) + β·x

Cambio de Variable:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
· y* = Ln(y)
· b₀ = Ln(α)

El modelo ajustado, con el cambio de variable, es:

y* = b₀ + b₁·x
Y la tabla quedará tal y como sigue:

x*.	4.2450	5.9480	12.8650	26.6660	35.1860	50.6510
y*	Ln(0.0280).	Ln(0.0440).	Ln(0.0680).	Ln(0.0920).	Ln(0.1095)	Ln(0.1295)

Ahora, podemos hacer una recopilación de datos que se extraen de la tabla una vez realizado el cambio de variable.

· n = 6

·

·

·

·

·


Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:

Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx:

·

·


Por lo tanto, la pendiente es:

Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada. Sustituimos valores:

Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:

y*(x) = -3.331880 + 0.029227·x

Siendo:

· y* = Ln(y)
· b₀ = Ln(α) = -3.331880
· b₁ = β = 0.029227

El modelo no lineal quedará:

 y = 0.035726·e^0.029227·x

Siendo:

· α = e^-3.331880 ≈ 0.035726