Ej18. Una caja contiene 4 bolas verdes y 8 rojas. Se saca una bola al azar y se devuelve a la caja junto con otras dos del mismo color. Si ahora se saca al azar por segunda vez una bola, halle la probabilidad de que:
a) La segunda bola sea verde.
b) La primera y la segunda bola sean rojas.
c) La primera bola sea roja y la segunda verde.
Inicialmente, tenemos 12 bolas, de las cuales 4 son verdes y 8 son rojas. Dice el problema, que la primera vez que se saque una bola al azar, ésta se vuelve a depositar en la caja junto a dos bolas más del mismo color de la bola que se obtuvo.
Por lo tanto, después de la primera tirada, en la caja tendremos 2 bolas más, es decir, 12+2 = 14 bolas.
Apartado a)
Definimos el suceso:
· B Ξ “La segunda bola sea verde”
La probabilidad del suceso B será, la probabilidad de que la segunda bola sea verde dada que la primera bola es verde o que la segunda bola sea verde dada que la primera bola es roja.
Para resolver este apartado se usa la expresión de la probabilidad total. Hay que recordar, que cuando se sacaba la bola la primera vez, ésta se devolvía a la caja de las bolas pero con dos bolas más de su mismo color.
Por lo tanto:
P(B) = P(V2|V1)·P(V1) + P(V2|R1)·P(R1) = (6/14)·(4/12) + (4/14)·(8/12) = 1/3
Apartado b)
Definimos los sucesos:
· A Ξ “La primera bola sea roja”
· B Ξ “La segunda bola sea roja”
La probabilidad del suceso A es de 8/12.
Al ser un ambos sucesos dependientes, ya que al extraer la primera bola modifica la probabilidad del segundo suceso, la probabilidad que nos interesa es la siguiente: P(B|A) es de 10/14. No hay que olvidar, que la segunda vez que cojamos una bola al azar, hay en la caja 2 bolas más del color de la primera bola que se sacó.
Lo que nos pide en este apartado, es la intersección de los sucesos A y B.
P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = 8/12·10/14 = 10/21 ≈ 0.476190
Apartado c)
Definimos los sucesos:
· A Ξ “La primera bola sea roja”
· B Ξ “La segunda bola sea verde”
La probabilidad del suceso A es de 8/12.
Al ser un ambos sucesos dependientes, ya que al extraer la primera bola modifica la probabilidad del segundo suceso, la probabilidad que nos interesa es la siguiente: P(B|A) es de 4/14. No hay que olvidar, que la segunda vez que cojamos una bola al azar, hay en la caja 2 bolas más del color de la primera bola que se sacó.
Por lo tanto, lo que debemos hallar en este apartado es la intersección de ambos sucesos:
P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = 8/12·4/14 = 4/21 ≈ 0.190476
5 comentarios:
graciassss
Manuel gracias por tu esfuerzo, espero aprobar este septiembre con la ayuda de tu Blog.
Duda en el apartado a)
P(B)=P(V2|V1)·P(V1)+P(V2|R1)·P(R1) = (6/14)·(4/12) + (4/14)·(8/12) = 1/3
La probabilidad de que la 2ª bola sea verde dada que la 1ª sea roja...pones 4/14 y no entiendo porqué...¿No debería de ser 10/14, ya que se coje una roja y se añaden 2 mas?
Gracias de nuevo!
Buenas Jerbacio:
¡Cuidado! Estamos pidiendo que la segunda bola sea verde, eso por un lado, por el otro lado, cuando se saca la primera bola, se vuelve a introducir con dos más del mismo color.
Entonces, al grano, si tenemos la siguiente expresión:
· P(V2|R1)
Quiere decir lo siguiente: Sea la segunda bola verde cuando se ha extraído una primera bola roja.
Entonces, la primera bola fue roja y dicha bola, la volvemos a depositar con dos bolas rojas más, ¿qué quiere decir esto? Pues que ahora, tendremos 10 bolas rojas (8 + 2) y 4 bolas verdes (las mismas que antes).
Es por eso que la probabilidad en números es la siguiente:
· P(V2|R1) = 4/14.
Lo que tú sugieres (10/14), correspondería a la siguiente expresión:
· P(R2|R1)
Es decir, sacamos una primera bola y ésta es roja, la volvemos a depositar con dos rojas más (por lo que tendremos 8 + 2 = 10), y ahora, sacamos una segunda bola y vuelve a ser roja, pero en este caso, tenemos 10 bolas rojas en total, es por ello el 10/14.
Pero como verás, no es eso lo que piden en el enunciado del problema.
· PD: Seguro que apruebas en Septiembre.
Un saludo y gracias por tú comentario.
No entiendo porque los sucesos de los apartaados b) y c) son independientes.
El hecho de la bola que se haya escogido inicialmente no condiciona al resultado de la segunda extraccion y por lo tanto es dependiente.
Gracias.Un saludo
Buenas:
¡Tienes razón! El primer evento modifica la probabilidad del segundo por lo que ambos sucesos son dependientes.
Muchas gracias por el apunte, ya está corregido.
Un saludo.
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