Ej21. Una caja contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se saca una bola y se reemplaza por otra del otro color. Ahora se extrae una segunda bola.
a) Halle la probabilidad de que la segunda bola sea roja.
b) Si ambas son del mismo color, halle la probabilidad de que sean blancas.
Teniendo en cuenta, que la probabilidad de sacar la primera bola roja es de 3/10, y si se saca la primera bola de color rojo, se debe reemplazar, en la caja, por una bola blanca, por tanto, se tendrá 2 bolas rojas y 8 blancas.
La probabilidad de sacar la segunda bola roja dado que la primera bola fue roja es 2/10.
Se sigue el mismo razonamiento pero para las bolas blancas, la probabilidad de sacar la primera bola blanca es de 7/10. Una vez obtenida la primera bola de color blanco, se debe reemplazar, en la caja, por una bola de color rojo.
Por lo tanto, la probabilidad de sacar la segunda bola de color blanco dado que la primera fue blanca, es de 6/10
Apartado a)
Es un claro ejemplo de probabilidad total, se define el suceso:
· A ≡ 'Segunda bola sea roja'
Por lo tanto, la probabilidad del suceso A es:
Apartado b)
En este caso, se usa el Teorema de Bayes para resolver este apartado. Se definen los sucesos:
· A ≡ 'Ambas sean blancas'
· B ≡ 'Ambas sean del mismo color'
Se debe obtener la probabilidad de que ambas sean del mismo color, para ello, se usa la expresión de la probabilidad total, no es más que hallar la probabilidad del suceso B:
Sustituimos valores y obtenemos:
La probabilidad de que ambas sean blancas, es decir, obtener la probabilidad del suceso A es:
Por lo tanto, aplicando el Teorema de Bayes, se resuelve este apartado:
3 comentarios:
Buenas,primero agradecer el trabajo porque me ayuda muchisima a estudiar la asignatura.En el apartado a) en el termino segundo de la suma aparece 4/10 y en realidad deberia ser 6/10 creo.Un saludo!
Hola,no entiendo al final del todo porque en el numerador se sustituye 0,42. si ese es el valor de P(A)
Buenas:
Respecto al Apartado a), antes que nada decir que está bien la solución. En la suma aparece 4/10 ya que obedece las órdenes del enunciado del problema. Te lo voy a demostrar.
El enunciado dice que se deben sacar de una caja dos bolas, de la siguiente manera:
· PRIMER PASO: Se saca la primera bola de la caja.
· SEGUNDO PASO: Si la primera bola que se saca de la caja es blanca, introducimos en la caja una bola de color rojo. En caso contrario, si la primera bola sacada de la caja es roja, introducimos en la caja una bola de color blanco.
· TERCER PASO: Se saca la segunda bola de la caja y se termina el experimento.
Bien, teniendo claro como está definido el experimento, el Apartado a) nos pide obtener la probabilidad de que la segunda bola sea roja (independientemente de que color sea la primera bola extraída).
Por lo tanto debemos plantear todos los posibles casos que son los siguientes:
· Obtener dos bolas rojas: Bien, en este caso, la probabilidad de obtener la primera bola roja es de: 3/10, y posteriormente, obtener la segunda bola de color rojo es de: 2/10 (ya que la primera bola fue roja, la bola de reemplazo debe ser blanca, por lo tanto, tenemos una bola menos roja).
· Obtener la primera bola blanca y la segunda una roja: La primera bola extraída es blanca, cuya probabilidad es de: 7/10, al ser blanca la primera bola, introducimos una nueva bola roja de reemplazo, por lo tanto ahora tenemos 4 bolas rojas y 6 blancas (6 + 4 = 10 bolas en total). La segunda bola debe ser roja, por lo que su probabilidad es de: 4/10.
Como verás está correcto.
Respecto al Apartado b), date cuenta que P(B) es la probabilidad total, y en el numerador tenemos la siguiente expresión:
· P(A ∩ B): El único datos que comparte o está presente tanto en el suceso A como en el suceso B es el propio suceso A (míralo como un diagrama de Venn).
Es decir, en el suceso B se contempla que ambas bolas sean blancas o ambas bolas sean rojas.
Y en el suceso se contempla que solo ambas bolas sean blancas.
Por diagrama de Venn, el dato que es de unión entre el suceso A y el B es que ambas bolas sean blancas, en otras palabras, el propio suceso A.
Un saludo.
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