Problema25. Probabilidad.

Ej25. Se dispone de diez monedas, nueve normales y una con dos caras. Se elige una al azar.

Halle la probabilidad de obtener al lanzarla:

a) Cara.

b) Cruz.

c) De nuevo, se elige una moneda al azar y se lanza seis veces seguidas, obteniéndose siempre cara, halle la probabilidad de que se trate de la moneda de dos caras.

Se definen los sucesos:

· A ≡ 'Moneda normal'

· B ≡ 'Moneda dos caras'

El subconjunto del suceso A es:

A = {C, X}

Donde:

· C: Cara.

· X: Cruz.

Existen dos elementos que componen el suceso A, por lo tanto, la probabilidad de salir cualquier elemento, del suceso A, es de ½.

El subconjunto del suceso B es:

B = {C,C}

Donde:

· C: Cara.

Sólo existe un elemento que compone el suceso B, por lo tanto, la probabilidad de salir cara, del suceso B, es de 1.

El enunciado nos dicta, que existen 9 monedas normales y una con dos caras, por lo tanto, hacen un total de 10 monedas.

La probabilidad de salir una moneda normal, es decir, la probabilidad del suceso A es de P(A) = 9/10, y la probabilidad del suceso B es de P(B) = 1/10.

Apartado a)

Se define el suceso:

· C ≡ 'Sea cara'

Para obtener la probabilidad del suceso C, se utiliza la expresión de la probabilidad total:

P(C) = P(C|A)·P(A) + P(C|B)·P(B) = (1/2)·(9/10) + 1·(1/10) = 11/20 = 0.55

Apartado b)

En este apartado, nos pide la probabilidad de salir cruz, es decir, el complemento del apartado anterior.

Se usa la expresión del complemento para resolver este apartado:

1 - P(C) = 1 - 11/20 = 9/20 = 0.45

Apartado c)

En este apartado, se escoge de nuevo una moneda y se lanza seis veces, dando cara siempre.

Para el suceso A, la probabilidad de salir cara, será la probabilidad de salir cara en el primer lanzamiento y en el segundo y en el tercero, y seguir así hasta el sexto lanzamiento, por lo tanto, la probabilidad de salir cara dada la moneda normal es: P(C|A) = (1/2)⁶ = 1/64.

En cambio, para el suceso B, la probabilidad de salir cara en los seis lanzamientos es 1, ya que la moneda es de dos caras, por lo tanto: P(C|B) = 1.

Por lo tanto, la probabilidad del suceso C es la probabilidad total de obtener cara:

P(C) = P(C|A)·P(A) + P(C|B)·P(B) = (1/64)·(9/10) + 1·(1/10) = 73/640

Una vez hallada la probabilidad total de obtener cara, el enunciado nos pide la probabilidad de que se halla obtenido con la moneda de dos caras.

Para ello usamos el Teorema de Bayes: