Problema29. Probabilidad.

Ej29. De una baraja francesa se extrae al azar una carta, y sin devolverla, se extrae una segunda.

Halle la probabilidad de que:

a) La primera carta sea un as pero la segunda no.

b) La primera carta no sea el diez de tréboles ni un as.

c) Al menos una carta sea de diamantes.

d) Las cartas no sean del mismo palo.

e) No más de una carta sea figura (J, Q ó K).

f) La segunda carta no sea figura.

La baraja francesa está compuesta por cuatro palos: Diamantes, Corazones, Tréboles y Picas.

Cada palo, contiene 13 cartas, por lo tanto, la baraja francesa posee 52 cartas en total.

La probabilidad de coger una primera carta, es de 1/52.

En cambio, si se escoge otra carta al azar, la probabilidad de ésta segunda carta es de 1/51, ya que no se devolvió la primera carta a la baraja.

Apartado a)

Se definen los sucesos:

· A Ξ 'Primera carta un as'

· B Ξ 'Segunda carta no sea un as'

Al haber cuatro palos en la baraja, existen cuatro ases en la misma, por lo tanto, la probabilidad del suceso A es: P(A) = 4/52.

Ahora bien, si la primera carta fue un as y ésta carta no se devuelve a la baraja, existen, en esta ocasión, tres ases ya que hay una carta menos, por lo tanto la probabilidad de que en esta segunda carta sea un as es de 3/51.

La probabilidad del suceso B es el complemento. En este apartado, nos piden la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B:

P(A∩B) = 4/52·(1-3/51) = 16/221 ≈ 0.072398

Apartado b)

Se definen los sucesos:

· A Ξ 'Primera carta no sea 10 tréboles'

· E Ξ 'Primera carta no sea un as'

La probabilidad de que la primera carta sea el 10 de tréboles es de 1/52 y la probabilidad de que la primera carta sea un as es de 4/52.

Por lo tanto, la probabilidad de que la primera carta sea el 10 de tréboles o un as es 4/52 + 1/52 = 5/52.

Usando la propiedad del complemento, se soluciona este apartado:

P(Ā∩Ē) = 1 - P(A U E) = 1 - 5/52 = 47/52 ≈ 0.903846

Es lógico, que la primera carta no pueda ser un as (la baraja contiene 4 ases) ni tampoco pueda ser el 10 de trébol (la baraja contiene un 10 de trébol), nos queda en la baraja 52 – 5 = 47 cartas.

Apartado c)

Se define el suceso:

· E Ξ 'Al menos una carta sea de diamantes'

El palo de diamantes lo componen 13 cartas, hallemos el proceso inverso, es decir, que la primera carta no sea de diamantes, la probabilidad es de 39/52.

Ahora, la probabilidad de que la segunda carta no sea de diamantes, nos quedan en la baraja 51 cartas de las cuales 39 no son de diamantes, como ya se ha seleccionado una anteriormente y no era de diamantes, nos quedan en la baraja 38 cartas que no son del palo de diamantes, por lo tanto, la probabilidad de sacar la segunda carta que no sea del palo diamantes es de 38/51.

La probabilidad de no salir en ninguna de las dos cartas, diamantes es de

P(E) = (39/52)·(38/51) = 19/34

Usando la propiedad del complemento resolvemos este apartado:

P(Ē) = 1 - P(E) = 1 - 19/34 = 15/34 ≈ 0.441176

Apartado d)

Se define el suceso:

· A Ξ 'Las cartas no sean del mismo palo'

El complementario del suceso A, es que las cartas sean del mismo palo.

Un palo de la baraja francesa contiene 13 cartas, por lo tanto su probabilidad es de 13/52.

Ahora bien, la probabilidad de que salga del mismo palo la segunda carta, es de 12/51, ya que existe una carta menos del mismo palo de la primera carta y por ende una carta menos en la baraja.

Por lo tanto, la probabilidad, teniendo en cuenta que hay cuatro palos, de salir dos cartas del mismo palo es:

P(Ā) = 4·(13/52)·(12/51) = 4/17

Usando la propiedad del complemento se obtiene la solución a este apartado:

P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 4/17 = 13/17 ≈ 0.764706

Apartado e)

Se define el suceso:

· A Ξ 'No más de una carta sea figura'

· B Ξ 'La primera carta es figura'

Eso significa que la primera carta sea figura y la segunda no o que la segunda carta sea figura y la primera carta no lo sea.

La probabilidad del suceso B es de 12/52, ya que en cada palo existen 4 figuras y hay en total 52 cartas en la baraja francesa.

La probabilidad de que la segunda carta sea figura dada que la primera lo fue es de 11/51, ya que existe una carta menos.

Por lo tanto, la probabilidad de que ambas cartas sean figura es:

P(Ā) = (12/52)·(11/51) = 11/221

Usando la propiedad del complemento, se obtiene la solución a este apartado:

P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 11/221 = 210/221 ≈ 0.950226

Apartado f)

Se define el suceso:

· A Ξ 'La segunda carta no sea figura'

· B Ξ 'La primera carta es figura'

Eso significa que la primera carta no sea figura (40/52) y la segunda tampoco (39/51) o que la primera carta sea figura (12/52) y la segunda carta no lo sea (40/51).

Por lo tanto, la solución a este apartado es:

P(A) = (40/52)·(39/51) + (12/52)·(40/51) = 10/13 ≈ 0.769231