Problema14. Leyes de Newton.

Problema 14. Considere el sistema de la gura en el que una fuerza F actúa sobre una caja de masa M = 4 kg. Sobre ella se encuentra otro cuerpo más pequeño de masa m = 1 kg. Los coecientes de rozamiento entre las dos masas y entre las masa M y el suelo son idénticos y de valor μe = 0,3 y μd = 0,2. Determine los valores de F para los que:

a) El sistema permanece en reposo.

b) Las dos masas se mueven juntas.

c) Cada masa se mueve por separado.

Figura del problema:

Lo primero que debemos hacer, es marcar un eje de referencia, hacia arriba el sentido del Eje Y y hacia la derecha el sentido del Eje X. Supondré también, que los objetos se mueven hacia la derecha.

Apartado a)

En este caso, los dos objetos no se mueven, por lo tanto, los puedo considerar como un sólo objeto de masa M + m.

Diagrama Cuerpo Libre:

El cuerpo al no estar en movimiento, la fuerza que se opone y lo impide es la fuerza de rozamiento estática.

Aplicamos la segunda Ley de Newton.

Eje X:



Al ser una fuerza de rozamiento estático, su expresión es:

Se sustituye:

(I)

Para obtener el valor de la fuerza normal, aplicamos la segunda Ley de Newton en el Eje Y.

Eje Y:



Se despeja el parámetro de la fuerza normal:

Sustituyendo en (I), se obtiene la solución a este apartado:

Apartado b)

Este apartado nos dice que se mueve el objeto de masa M pero el de masa m no.

Diagrama Cuerpo Libre:

Hay que tener en cuenta que el cuerpo de masa m no se mueve, por lo tanto, la fuerza que hace que no se mueva es la fuerza de rozamiento estático, en cambio, el cuerpo de masa M si se mueve por lo que actúa en él, la fuerza de rozamiento dinámico.

Aplicamos la segunda Ley de Newton.

Para el objeto de masa M.

Eje X:



Sustituimos el valor de la fuerza de rozamiento dinámico:

(I)

Para obtener el valor de la fuerza normal, aplicamos la segunda Ley de Newton en el Eje Y.

Eje Y:

(II)

Para el objeto de masa m.

Eje X:



Sustituimos el valor de la fuerza de rozamiento estático:

(III)

Para obtener el valor de la fuerza normal, aplicamos la segunda Ley de Newton en el Eje Y.

Eje Y:



Sustituimos en (III) para obtener el valor de la aceleración:

Por lo tanto, la fuerza de rozamiento estática vale:

Sustituimos este valor en (I):

Despejamos el parámetro de la fuerza para obtener la solución a este apartado:

Apartado c)

Este apartado nos dice que cada masa se mueve por separado. Esto ocurrirá cuando la fuerza F sea mayor de 24.525 N.

Lo que se va a calcular son las aceleraciones que tendrán dichos cuerpos para tal caso.

Diagrama Cuerpo Libre:

Ambas masas se mueven, por lo tanto actúan en ellas, en contraposición a su movimiento, la fuerza de rozamiento dinámico.

Aplicamos la segunda Ley de Newton.

Para el objeto de masa M.

Eje X:

Sustituimos el valor de la fuerza de rozamiento dinámico de la masa M:

(I)

Para obtener el valor de la fuerza normal, aplicamos la segunda Ley de Newton en el Eje Y.

Eje Y:

(II)

Para el objeto de masa m.

Eje X:



Sustituimos el valor de la fuerza de rozamiento dinámico:

(III)

Para obtener el valor de la fuerza normal, aplicamos la segunda Ley de Newton en el Eje Y.

Eje Y:



Sustituimos en (III) para obtener el valor de la aceleración del objeto de masa m:

Por lo tanto, la fuerza de rozamiento dinámica del cuerpo de masa m vale:

Para obtener la aceleración que sufrirá el cuerpo de masa M cuando se muevan ambos objetos por separado, se sutituye el parámetro de la aceleración de la expresión (I):

Sustituimos valores teniendo en cuenta, que para que ambos cuerpos se muevan por separado a distintas aceleraciones, la fuerza F debe ser mayor que 24.525 N. Por lo tanto, el punto límite es cuando la fuerza tenga ese valor: