Problema 16. En el sistema de la figura, las dos masas m1 = 3 kg y m2 = 2 kg, están unidas mediante una cuerda que pasa por una polea. Si los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el plano inclinado y m1 son 1/3 y 1/5 respectivamente, calcular el valor de la aceleración, la tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento para:
a) El ángulo del plano inclinado sea 10º.
b) El ángulo del plano inclinado sea 45º.
Figura del problema:
Lo primero que debemos hacer, es marcar un eje de referencia, hacia arriba el sentido del Eje Y y hacia la izquierda el sentido del Eje X. Supondré también, que los objetos se mueven hacia la derecha, en caso de que se muevan.
Apartado a)
Suponemos que los dos objetos no se mueven.
Diagrama de Cuerpo Libre.
Para el objeto de masa 3 kg.
Eje X:
Despejamos la fuerza de rozamiento estático:
Eje Y:
Para el objeto de masa 2 kg.
Sólo dispone de fuerzas en el Eje Y.
Eje Y:
Sustituimos dicho valor en (I):
Un dato muy a tener en cuenta y que es crucial en este problema, es comprobar si la suposición de que los cuerpos están inmóviles es cierta.
Para ello, la fuerza de rozamiento estática calculada no puede ser superior a la fuerza de rozamiento estática máxima.
La fuerza de rozamiento estática máxima viene determinada por la expresión:
Por lo tanto, la fuerza de rozamiento máxima vale:
Se comprueba que la fuerza de rozamiento estática calculada es mucho mayor que la fuerza de rozamiento estática máxima.
Por lo tanto, ambos cuerpos no están inmóviles, sino en movimiento. Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre será:
Para el objeto de masa 3 kg.
Eje X:
Hay que notar que la aceleración es negativa ya que va encontra del sentido del Eje X.
Eje Y:
Para el objeto de masa 2 kg.
Sólo dispone de fuerzas en el Eje Y.
Eje Y:
Hay que notar que la aceleración es negativa ya que va encontra del sentido del Eje Y.
Despejamos el parámetro de la tensión y lo sustituimos en la expresión (III):
Despejamos el parámetro de la aceleración para obtener su valor:
Para obtener el valor de la tensión de la cuerda, sustituimos los valores de la expresión (IV):
Y por último, se obtiene la fuerza de la tensión de rozamiento dinámica:
Apartado b)
Suponemos que los dos objetos no se mueven.
Las ecuaciones son las mismas que en el apartado a), cuando se supuso que ambos objetos no se movían.
Eje X:
Despejamos la fuerza de rozamiento estático:
Eje Y:
Para el objeto de masa 2 kg.
Sólo dispone de fuerzas en el Eje Y.
Eje Y:
Sustituimos dicho valor en (I):
Para comprobar que ambos objetos están inmóviles, se debe verificar que la fuerza de rozamiento estática calculada sea menor que la fuerza de rozamiento estática máxima.
La fuerza de rozamiento estática máxima vale:
Por lo tanto, se verifica que es menor que la fuerza de rozamiento estática máxima, por lo que ambos cuerpos están inmóviles.
Por lo tanto su aceleración es nula, y la fuerza de la tensión valdrá:
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