Problema10: Análisis de Regresión

Ej10. Mediante una adecuada transformación de las variables x e y, linealiza la ecuación:

y = a·x^b

Encuentra la curva de este tipo que mejor se adapte en el sentido de los mínimos cuadrados, a los puntos cuyas coordenadas vienen dadas en la siguiente tabla:

x.	2	3	6	10	20	30
y	126.1	141.5	170.1	193.2	228.0	250.3

El modelo que nos ofrece el problema no es un modelo lineal simple, por lo que tenemos que adecuarlo, en este caso, actuamos mediante logaritmo neperiano:

Ln(y) = Ln(a·x^b) = Ln(a) + b·Ln(x)

Cambio de Variable:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
· y* = Ln(y)
· x* = Ln(x)
· b₀ = Ln(a)

El modelo ajustado, con el cambio de variable, es:

y* = b₀ + b₁·x*
Y la tabla quedará tal y como sigue:

x**.	Ln(2)	Ln(3)	Ln(6)	Ln(10)	Ln(20)	Ln(30)
y*	Ln(126.1).	Ln(141.5).	Ln(170.1).	Ln(193.2).	Ln(228)	Ln(250.3)

Ahora, podemos hacer una recopilación de datos que se extraen de la tabla una vez realizado el cambio de variable.

· n = 6

·

·

·

·

·

Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:

Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx:

·

·

Por lo tanto, la pendiente es:

Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada:

Sustituimos valores:

Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:

y*(x) = 4.673285 + 0.252526·x

Por lo tanto, el modelo no lineal quedará:

y = 107.048821·x^0.252526

Siendo:

· a = e^4.673285 ≈ 107.048821