Problema24: VAC

Ej24. Un avión Boeing 767-300 de American Airlines tiene 213 asientos. Cuando se llena de pasajeros, equipaje, carga y combustible, el piloto debe verificar que el peso neto no rebase el límite máximo permitido, y el peso debe distribuirse adecuadamente para que el equilibrio de la aeronave permanezca dentro de los límites de seguridad aceptable.

En vez de pesar a cada pasajero, sus pesos se estiman según las reglas de la Federal Aviation Administration. En realidad, sabemos que los hombres tienen un peso medio de 143 lb, de manera que un número desproporcionadamente mayor de hombres podría provocar una situación insegura de sobrepeso.

Suponga que, si hay por lo menos 122 hombres en una lista de 213 pasajeros, la carga debe ajustarse de alguna manera. Suponiendo que los pasajeros se registran al azar, que los hombres y las mujeres son igualmente probables, y que la aeronave esté llena de adultos, calcule la probabilidad de que un Boeing 767-300 con 213 pasajeros, haya al menos 122 hombres.


Sea la variable aleatoria X, número de hombres que podemos encontrar en un Boeing 767-300. El número total de pasajeros es: 213.

A parte, nos indica el enunciado, que la probabilidad de encontrar un hombre o una mujer a bordo del avión son iguales:

· Probabilidad de un Hombre a bordo: 0.5
· Probabilidad de una Mujer a bordo: 0.5

Este es un claro ejemplo de acierto o error, en este caso, el acierto es encontrar un hombre a bordo del avión, por lo que estamos ante una distribución binomial: X ~ B(213, 0.5).

Comprobaremos, si se puede aproximar a la normal, para ello, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. n·p ≥ 5: 213 · 0.5 = 106.5 ≥ 5 OK.

2. n·q ≥ 5: 213 · 0.5 = 106.5 ≥ 5 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ .

Debemos calcular: P(X ≥ 122), operamos la desigualdad para obtener: 1 - P(X < .122), aplicamos, ahora, la corrección por continuidad, por lo tanto, tenemos: P(X < . 121.5).

Tipificamos:

Así qué:

P(X ≥ 122) = 1 - P(Z < 2.06) = 1 - (0.5 + Φ(2.06))

Buscamos el valor en las tablas y sustituyendo valores, obtenemos la solución a este problema:

P(X ≥ 122) = 0.5 - Φ(2.06) = 0.5 - 0.4803 = 0.0197

Esto nos indica que la probabilidad de ajustar la carga del avión por haber al menos 122 hombres de 213 pasajeros será muy poco frecuente.