Problema10: Fiabilidad

Ej10. Un submarinista tiene que efectuar ciertas reparaciones en una plataforma petrolífera. Puede elegir entre equipos de buceo de dos clases.

Las reparaciones se llevarán a cabo en condiciones de riesgo bajo las cuales los equipos pueden fallar. Los tiempos de fallo, en horas, tienen una distribución de Weibull de parámetros α₁= 1 y β₁ = 7.5 el primero, y α₂= 4.5 y β₂ = 4 el segundo, determinar:

a) ¿Qué clase de equipo debe elegir el submarinista si la reparación tendrá una duración prevista de 45 minutos?.

b) ¿Cuál deberá ser como mínimo la duración prevista de la reparación para que el submarinista opte por un equipo de otra clase?


Recopilamos información útil que nos ofrece el enunciado del problema:

· Ambos equipos siguen una distribución de Weibull.
· Primer Equipo: W(1, 7.5).
· Segundo Equipo: W(4.5, 10).

La función de fiabilidad de la distribución de Weibull viene dada por la siguiente expresión:

R(t) = e^-tα/β

Donde:

· α ≡ Parámetro de forma.
· β ≡ Parámetro de escala.

En nuestro caso, sustituyendo valores:

· Primer Equipo: R₁(t) = e^-t1/7.5
· Segundo Equipo: R₂(t) = e^-t4.5/4

Apartado a)

Ya que el tiempo de fallos está determinado en horas, debemos pasar 45 minutos a horas, empleamos para ello, una simple regla de tres:

1 hora --- 60 minutos
x hora --- 45 minutos

Por lo tanto, x = 0.75 horas. Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(T > 0.75) = 1 - P(T ≤ 0.75) = 1 - F(0.75) = 1 - [1 - R(0.75)] = R(0.75)

Por lo tanto, para cada equipo:

· Primer Equipo: R₁(0.75) = e^-0.751/7.5 ≈ 0.904837.
· Segundo Equipo: R₂(0.75) = e^-0.754.5/4 ≈ 0.933790.

Se debe escoger el segundo equipo ya que posee más fiabilidad a las 0.75 horas (45 minutos).


Apartado b)

En este apartado nos piden el instante de tiempo de fallo para seleccionar el equipo de la otra clase, lo que tenemos que hacer es ver en que instante de tiempo de fallo, la fiabilidad de ambos equipos son iguales:

R₁(t) = R₂(t)

Por lo tanto:

e^-t1/7.5 = e^-t4.5/4

Empleamos el logaritmo neperiano para operar la igualdad:

ln(e^-t1/7.5)= ln(e^-t4.5/4)

Obtenemos:

t/7.5= t^4.5/4

Operamos la igualdad:

t/t^4.5= 7.5/4

Simplificamos:

t^-3.5= 1.875

Y finalmente despejamos el tiempo de fallos, en horas:

t = ^3.5√(1/1.875) ≈ 0.835602 horas

En resumen, cuando el tiempo de fallo sea 0.835602 horas, aproximadamente, ambos equipos tendrán la misma fiabilidad, y es a partir de dicho instante cuando la fiabilidad del primer equipo será mayor que la del segundo equipo, por lo tanto, el submarinista, a partir del instante mencionado, deberá escoger el equipo primero.

Lo pasamos a minutos con una simple regla de tres:

1 hora...............--- 60 minutos
0.835602 hora --- x minutos

Por lo tanto, x = 50.13612 minutos. A partir de los 50.13612 minutos, el equipo primero es más fiable que el equipo segundo.