Ej9. El tiempo de fallo, en horas, de equipos de supervivencia siguen una distribución de Weibull de parámetros α1= 1 y β1 = 20 el primero, y α2= 0.5 y β2 = 10 el segundo, determinar:
a) ¿Qué equipo se debe elegir sabiendo que ambos han sido usados sin fallos durante 10 horas?.
b) ¿Cuánto tendría que durar exactamente la reparación para que la elección fuera indiferente?
Recopilamos información útil que nos ofrece el enunciado del problema:
· Ambos equipos siguen una distribución de Weibull.
· Primer Equipo: W(1, 20).
· Segundo Equipo: W(0.5, 10).
La función de fiabilidad de la distribución de Weibull viene dada por la siguiente expresión:
R(t) = e-tα/β
Donde:
· α ≡ Parámetro de forma.
· β ≡ Parámetro de escala.
En nuestro caso, sustituyendo valores:
· Primer Equipo: R1(t) = e-t1/20
· Segundo Equipo: R2(t) = e-t0.5/10
· Segundo Equipo: R2(t) = e-t0.5/10
Apartado a)
Nos piden obtener la siguiente probabilidad:
P(T > 10) = 1 - P(T ≤ 10) = 1 - F(10) = 1 - [1 - R(10)] = R(10)
Por lo tanto, para cada equipo:
· Primer Equipo: R1(10) = e-101/20 ≈ 0.606531
· Segundo Equipo: R2(10) = e-100.5/10 ≈ 0.728893.
Se debe escoger el segundo equipo ya que posee más fiabilidad a las 10 horas.
Apartado b)
En este apartado nos piden el instante de tiempo de fallo para que ambos equipos, la fiabilidad sea igual:
R1(t) = R2(t)
Por lo tanto:
e-t1/20 = e-t0.5/10
Empleamos el logaritmo neperiano para operar la igualdad:
ln(e-t1/20)= ln(e-t0.5/10)
Obtenemos:
t/20= t0.5/10
t/t0.5= 20/10
Simplificamos:
t0.5= 2
Y finalmente despejamos el tiempo de fallos, en horas, para obtener la solución a este apartado:
t = 0.5√2 = 4 horas
En resumen, cuando el tiempo de fallo sea 4 horas, ambos equipos tendrán la misma fiabilidad.
2 comentarios:
muy buen blog de los mejores que he visto.
me podria usted aclarar una cosa por favor en el apartado a) lo que calculamos es la probabilidad de que ocurra un fallo pasadas 10 horas entonces si la probabilidad es mayor en el segundo equipo no deberíamos elegir el primer equipo?
es que en el ejercicio 4 cuando nos dice calcular la probabilidad de que falle despues de 5 pero antes de 10 años pero despues nos dice que la fiabilidad es baja? entonces esa probabilidad que mide la fiabilidad o la probabilidad de fallo?
muchas gracias
Buenas:
Vamos a ver, tanto la probabilidad de que ocurra un fallo como la fiabilidad son conceptos inversos.
En este tema, lo que obtenemos siempre, es la fiabilidad, y mediante este dato, sacamos conclusiones del siguiente tipo:
· Fiabilidad ALTA: Probabilidad de fallo BAJA.
· Fiabilidad BAJA: Probabilidad de fallo ALTA.
Si te das cuenta, por la propia definición de fiabilidad, cuando decimos que algo falla en un instante t, la definición es la siguiente:
· P(T > t)
Al manipularla, para adaptarla a nuestro propósito de estudio de fiabilidad, obtenemos lo siguiente:
· P(T > t) = 1 - P(T ≤ t)
Al ser variables aleatorias continuas, tenemos lo siguiente:
· P(T > t) = 1 - P(T ≤ t) = 1 - F(t)
Y al emplear la propia definición de fiabilidad, finalmente tenemos el resultado final:
· P(T > t) = 1 - P(T ≤ t) = 1 - F(t) = 1 - [1 - R(t)] = R(t)
Si te fijas bien, la fiabilidad es el complemento de fallar a partir de un instante t.
Es por ello que en este ejercicio en concreto, el que tenga más fiabilidad será el que debamos escoger, ya que al instante dado, será más fiable (o menos probable) de que no falle.
Respecto al Problema 4, lo que hemos calculado realmente es la fiabilidad y ésta al ser baja, la probabilidad de fallo será alta.
Es cierto que el enunciado nos pide obtener la probabilidad de fallo, pero hemos adaptado el problema al estudio de la fiabilidad. Siendo rigurosos, la probabilidad de fallo sería la inversa de la fiabilidad.
Al medir ambos parámetros de estudio lo mismo pero definición contraria, podemos adoptar cualquiera de ellos, el resultado final (la conclusión de si algo falle, o es fiable, o no) debe ser el mismo.
A modo de apéndice final, decirte que tengas esta premisa en mente:
· Que algo falle a partir de un instante t, es lo mismo que decir que, no ha fallado hasta ese mismo instante t.
Un saludo.
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