Problema7: Cartas de Control

Ej7. Para controlar la media del proceso de fabricación de botellas, se muestran tres botellas, veinte días del mes.

Los datos, pesos de las botellas en onzas, de la inspección del último mes, figuran en la tabla que sigue:

Muestra	Pesos de las botellas	Media		Muestra	Pesos de las botellas	Media
1	5.6......5.8......5.8	5.73333		11	6.2......5.6......5.8	5.866667
2	5.7......6.3......6.0	6.00000		12	5.9......5.7......5.9	5.83333
3	6.1......5.3......6.0	5.80000		13	5.2......5.5......5.7	5.46667
4	6.3......5.8......5.9	6.00000		14	6.0......6.1......6.0	6.03333
5	5.2......5.9......6.3	5.80000		15	6.3......5.7......5.9	5.96667
6	6.0......6.7......5.2	5.966667		16	5.8......6.2......6.1	6.03333
7	5.8......5.7......6.1	5.866667		17	6.1......6.4......6.6	6.36667
8	5.8......6.0......6.2	6.00000		18	6.2......5.7......5.7	5.86667
9	6.4......5.6......5.9	5.966667		19	5.3......5.5......5.4	5.40000
10	6.0......5.7......6.1	5.93333		20	6.0......6.1......6.0	6.03333

Determinar:

a) Los límites de control y la línea central de la carta X para los pesos de las botellas.

b) ¿Crees que el proceso estuvo bajo control el mes en cuestión?.


Apartado a)

Realizamos una recopilación de los datos ofrecidos por el enunciado del problema:

· Carta de control X, media de datos.
· Tamaño de la muestra: n = 3.
· Número de muestras: m = 20.
· Se desconoce μ y σ.

Nos piden obtener la carta de control de medias X, por lo que debemos adaptar los datos ofrecidos en la tabla en pesos de las botellas (obtener el rango de dichos datos: Se resta el valor máximo con el valor mínimo dado):

Muestra	Rango	Media		Muestra	Rango	Media
1	0.2	5.73333		11	0.6	5.866667
2	0.6	6.00000		12	0.2	5.83333
3	0.8	5.80000		13	0.5	5.46667
4	0.5	6.00000		14	0.1	6.03333
5	1.1	5.80000		15	0.6	5.96667
6	1.5	5.966667		16	0.4	6.03333
7	0.4	5.866667		17	0.5	6.36667
8	0.4	6.00000		18	0.5	5.86667
9	0.8	5.966667		19	0.2	5.40000
10	0.4	5.93333		20	0.1	6.03333

Nos piden obtener la carta de control de medias X, cuyos límites de control son:

·

·

·

Donde A₂ y d₂, están tabulados para varios valores de n, en nuestro caso, n = 3, consultamos en la tabla:

· A₂ = 1.023
· d₂ = 1.693

Siendo:

·

Ya disponemos de todos los datos necesarios para obtener los límites de control de la carta de medias X, empezamos por la línea central:

·

Y posteriormente, obtenemos los límites superior e inferior de control:

· LSC = μ + A₂·R = 5.896667 + 1.023·0.52 = 6.428627
· LIC = μ - A₂·R = 5.896667 - 1.023·0.52 = 5.364707

Como resumen, los límites de control para la carta X son:

· LSC = 6.428627
· LC = 5.896667
· LIC = 5.364707


Apartado b)

Debemos representar la carta de control de medias X, pero antes, debemos obtener los límites σ y 2σ de las mismas, para su posterior análisis mediante el método: Western Electric Handbook 1956.

Para obtener los límites de advertencia σ y 2σ, existen dos formas, una es mediante una simple regla de tres, y la otra, algo más sofisticada, es obteniendo el valor de σ.

En este caso, vamos a calcular el valor de σ para obtener los límites de control de advertencia.

Sigma: σ = R/d₂ = 0.52/1.693 ≈ 0.307147

Por lo tanto, los límites de advertencia de control 2σ son:

· X + 2·σ/√n = 5.896667 + 2·0.307147/√3 ≈ 6.251330
· X - 2·σ/√n = 5.896667 - 2·0.307147/√3 ≈ 5.542004

Para los límites de advertencia de control σ son:

· X + σ/√n = 5.896667 + 0.307147/√3 ≈ 6.073998
· X - σ/√n = 5.896667 - 0.307147/√3 ≈ 5.719336

Y en este momento, estamos en disposición de realizar la gráfica de control X:

Una vez dibujada la gráfica de control, pasamos a su análisis. En un primer vistazo observamos que todos los puntos están dentro de los límites de control 3σ.

Pero el proceso está fuera de control ya que existen 2 de 3 puntos consecutivos que se encuentra a una distancia más allá de los límites 2σ. Los puntos son:

· 17: 2σ superior
· 18: LC
· 19: 2σ inferior

Por lo tanto, el proceso de la carta X, está fuera de control.