Aqueronte: Problema4: Estimador de Máxima Verosimilitud

Ej4. Obtener el estimador de máxima verosimilitud de la siguiente función:

$\textcolor{blue}{f(x, \mu) \equiv \begin{cases} \displaystyle{1 \over \sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \text{Ln(x)}- \mu \right)^2} & \text{x}, \sigma > 0 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}}$

Para obtener el estimador o parámetro de máxima verosimilitud de una función, aplicamos su definición:

$\text{L} \left( \mu, (x_1,..., x_n) \right) = \prod_{i = 1}^n{f(x_i, \mu)} = \prod_{i = 1}^n{\displaystyle{1 \over \sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2}} = (\displaystyle{1 \over \sigma \sqrt{2 \pi}})^n \prod_{i = 1}^n{e^{- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2}}$

Para resolver esta función, aplicaré las propiedades del logaritmo neperiano en ambas partes:

$\text{Ln(L)} = n \left( \text{Ln(1)}-( \text{Ln}( \sigma) + \displaystyle{1 \over 2} \text{Ln}(2 \pi) \right) - \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \sum_{i = 1}^n{\text{Ln}(x_i)}- n \mu \right)^2$

Simplifico:

$\text{Ln(L)} = n \left( \text{Ln(1)}-( \text{Ln}( \sigma) + \displaystyle{1 \over 2} \text{Ln}(2 \pi) \right) - \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left[ (\sum_{i = 1}^n{\text{Ln}(x_i)})^2- 2n \mu \sum_{i = 1}^n{\text{Ln}(x_i)} +n^2 \mu^2 \right]$

Derivo e igualo a cero para obtener la solución a esta función:

$\displaystyle{\partial \text{Ln(L)} \over \partial \mu} =- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2}( -2n \sum_{i = 1}^n{\text{Ln}(x_i)}+2n^2 \mu) =- \displaystyle{1 \over \sigma^2}( n^2 \mu -n \sum_{i = 1}^n{\text{Ln}(x_i)}) = 0$

Despejo el parámetro μ, para hallar el estimador de máxima verosimilitud:

$\mu = \displaystyle{ \sum_{i = 1}^n{\text{Ln}(x_i)} \over n}$

Para cerciorarnos de que realmente μ, es el estimador de máxima verosimilitud, debo verificar que sea un máximo de la función f, para ello, obtengo la segunda derivada:

$\displaystyle{\partial^2 \text{Ln(L)} \over \partial \mu^2} =- \displaystyle{1 \over \sigma^2} \left( n^2 -0 \right) = - \displaystyle{n^2 \over \sigma^2} < 0$

Es negativo, por lo que el valor obtenido de μ es un máximo, en otras palabras, es el estimador de máxima verosimilitud de la función dada en el enunciado del problema.

1 comentarios:

Antonio J. Sánchez Martínez dijo...: Creo que hay un error!!!! despues de Para resolver esta función, aplicaré las propiedades del logaritmo neperiano en ambas partes: creo que el sumatorio no puede entrar en la diferencia al cuadrado asi como asi, ya que no es una propiedad de los sumatorios.; 31 de agosto de 2015, 3:38

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domingo, 25 de octubre de 2009

Problema4: Estimador de Máxima Verosimilitud

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