Aqueronte: Problema5: Estimador de Máxima Verosimilitud

lunes, 26 de octubre de 2009

Problema5: Estimador de Máxima Verosimilitud

Ej5. Obtener el estimador de máxima verosimilitud de la siguiente función:

$\textcolor{blue}{f(x,p) \equiv \begin{cases} p^x \cdot \left( 1-p \right)^{n-x} \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}}$

Para obtener el estimador o parámetro de máxima verosimilitud de una función, aplicamos su definición:

$\text{L} \left(p, (x_1,..., x_n) \right) = \prod_{i = 1}^n{f(x_i, p)} = \prod_{i = 1}^n{p^{x_i} \cdot \left( 1-p \right)^{n-x_i}}$

Para resolver esta función, aplicaré las propiedades del logaritmo neperiano en ambas partes:

$\text{Ln(L)} = \text{Ln(p)} \cdot \sum_{i = 1}^n{x_i}+ \left( n- \sum_{i = 1}^n{x_i} \right) \cdot \text{Ln(1-p)}$

Derivo e igualo a cero para obtener la solución a esta función:

$\displaystyle{\partial \text{Ln(L)} \over \partial p} = \displaystyle{ \sum_{i = 1}^n{x_i} \over p}+ \left( n - \sum_{i = 1}^n{x_i} \right) \cdot \displaystyle{(-1) \over 1-p}$

Opero:

$\displaystyle{\partial \text{Ln(L)} \over \partial p} = \displaystyle{(1-p) \over p(1-p)} \sum_{i = 1}^n{x_i}- \displaystyle{p \over p(1-p)} \cdot \left( n - \sum_{i = 1}^n{x_i} \right) = 0$

Despejo el parámetro p, para hallar el estimador de máxima verosimilitud:

$p = \displaystyle{ \sum_{i = 1}^n{x_i} \over n}$

Para cerciorarnos de que realmente p, es el estimador de máxima verosimilitud, debo verificar que sea un máximo de la función f, para ello, obtengo la segunda derivada:

$\displaystyle{\partial^2 \text{Ln(L)} \over \partial p^2} =- \displaystyle{\sum_{i = 1}^n{x_i} \over p^2}- \left( n - \sum_{i = 1}^n{x_i} \right) \cdot \displaystyle{1 \over (1-p)^2} < 0$

Es negativo, por lo que el valor obtenido de p es un máximo, en otras palabras, es el estimador de máxima verosimilitud de la función dada en el enunciado del problema.

4 comentarios:

Anónimo dijo...: hola en este ejercicio se deberia aclarar que es un ensayo de bernoulli, ya que sino se puede suponer que el n no vale 1 y la sumatoria que va hasta n y se suma n veces daria en realidad n al cuadrado, llegando a otro resultado despues. muchas gracias por los ejercicios saludos; 13 de julio de 2011, 22:12
Unknown dijo...: Buenas:

No creo necesario que se deba especificar nada, simplemente aplicar la técnica de resolución para obtener el parámetro de máxima verosimilitud.

Aún así, puedes poner el desarrollo dónde dices que sale al n al cuadrado.

Un saludo y gracias por tu comentario.; 14 de julio de 2011, 9:36
Astinx dijo...: Hola, disculpame, ¿Por casualidad me podrás recomendar una buena fuente acerca de ejercicios de método de los momentos, pero que sean distribuciones desconocidas?, realmente me esta constando muchísimo encontrar ejercicios de esa categoria, además también me gustaría saber si conoces alguna otra fuente con ejercicios de EMV, pero que tengan integrales dobles. Desde ya gracias.; 14 de agosto de 2011, 23:32
Unknown dijo...: Buenas Astinx:

Lo único que te puedo recomendar es que acudes a la literatura impresa, libros de estadística que incorporen dicho capítulo. Ahora mismo no se me ocurre ninguno.

Respecto a los ejercicios con dos variables, tenemos en mente (en un futuro que esperemos no sea muy lejano), incorporarlos a este blog.

Lo siento, pero en esta ocasión no puedo serte de mucha ayuda, sólo te puedo decir que busques en libros de estadística.

Un saludo y muchísimas gracias por tu comentario.; 15 de agosto de 2011, 9:26

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lunes, 26 de octubre de 2009

Problema5: Estimador de Máxima Verosimilitud

4 comentarios:

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