Aqueronte: Problema9: Estimador de Máxima Verosimilitud

Ej9. Obtener el estimador de máxima verosimilitud de la siguiente función:

$\textcolor{blue}{f(x, \sigma) \equiv \begin{cases} \displaystyle{1 \over \sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \text{Ln(x)}- \mu \right)^2} & \text{x}, \sigma > 0 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}}$

Para obtener el estimador o parámetro de máxima verosimilitud de una función, aplicamos su definición:

$\text{L} \left( \sigma, (x_1,..., x_n) \right) = \prod_{i = 1}^n{f(x_i, \sigma)} = \prod_{i = 1}^n{\displaystyle{1 \over \sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2}}$

Opero:

$\text{L} \left( \sigma, (x_1,..., x_n) \right) = \prod_{i = 1}^n{\displaystyle{1 \over \sqrt{2 \pi \sigma^2}} \cdot e^{- \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2}}$

Para resolver esta función, aplicaré las propiedades del logaritmo neperiano en ambas partes:

$\text{Ln(L)} = n \left( \text{Ln(1)}- \displaystyle{1 \over 2} \left( \text{Ln}( 2 \pi \sigma^2 \right) \right) - \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2$

Simplifico:

$\text{Ln(L)} = - \displaystyle{n \over 2} \left( \text{Ln}(2 \pi \sigma^2) \right) - \displaystyle{1 \over 2 \sigma^2} \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2$

Derivo e igualo a cero para obtener la solución a esta función:

$\displaystyle{\partial \text{Ln(L)} \over \partial \sigma} =- \displaystyle{n \over 2} \cdot \displaystyle{4 \pi \sigma \over 2 \pi \sigma^2}+ \displaystyle{4 \sigma \over 4 \sigma^4} \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2$

Simplifico e igualo a cero:

$\displaystyle{\partial \text{Ln(L)} \over \partial \sigma} = \displaystyle{-n \sigma^2+ \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2 \over \sigma^3}=0$

Despejo el parámetro σ², para hallar el estimador de máxima verosimilitud:

$\sigma^2 = \displaystyle{1 \over n} \cdot \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2$

Para cerciorarnos de que realmente σ², es el estimador de máxima verosimilitud, debo verificar que sea un máximo de la función f, para ello, obtengo la segunda derivada:

$\displaystyle{\partial^2 \text{Ln(L)} \over \partial \sigma^2} = \displaystyle{n \over \sigma^2} - \displaystyle{3 \sigma^2 \over \sigma^6} \cdot \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2= \displaystyle{n \sigma^2-3 \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2 \over \sigma^4}$

Debe ser negativo el resultado para que sea un máximo de la función:

$\displaystyle{\partial^2 \text{Ln(L)} \over \partial \sigma^2} = \displaystyle{n \sigma^2-3 \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2 \over \sigma^4} < 0$

En este caso, no se puede apreciar de forma clara si la segunda derivada de la función es negativa, por lo que estudiaremos las condiciones de σ², para que sea negativa y por ende, un máximo de la función.

Despejamos el valor de σ²:

$\sigma^2 < \displaystyle{3 \sum_{i = 1}^n \left( \text{Ln}(x_i)- \mu \right)^2 \over n}$

Podemos comprobar que satisface la condición de que sea negativa la segunda derivada de la función, ya que debe ser menor del triple al valor obtenido de σ².

lunes, 2 de noviembre de 2009

Problema9: Estimador de Máxima Verosimilitud

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