Problema37: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej37. La cantidad, en kg, de cereal cosechada por m² en una región es una variable aleatoria con distribución normal. En 25 localizaciones elegidas al azar se obtuvo que la cantidad media cosechada por m² fue de 18.5 kg con una cuasivarianza de 1.

Contrastar la hipótesis de que la cantidad media por m² es de 18 kg, frente a la alternativa de que es mayor.

Tómese un nivel de signifi cación de, α = 0.1.


Realizamos una recopilación de los datos ofrecidos por el enunciado del problema:

· Tamaño de la muestra: n = 25.
· Media muestral: x = 18.5.
· Cuasi varianza: S²_c = 1.
· Nivel de significación: α = 0.1.
· X ≡ 'Cantidad, kg, de cereal cosechada por m² en una región'.
· Sigue una distribución Normal: X~N(18.5, 1)

La prueba de hipótesis que plantea el enunciado del problema es:

Es un contraste de media con desviación estándar desconocida y el tamaño de la muestra menor que 30, el estadístico es:

Obtenemos el valor del estadístico:

Para comprobar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula, empleamos la región crítica, que para esta prueba es:

T ≥ t_{α, n-1}

Para un nivel de significación de: α = 0.1, tenemos, en la tabla t-Student:

· t_{α, n-1} = t_{0.1, 25-1} = t_{0.1, 24} = 1.3178

Comprobamos el valor del estadístico con la región crítica:

El valor del estadístico, 2.5 es mayor que el valor de la región crítica, 1.3178, por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula y, aceptamos la hipótesis alternativa.

Esto quiere decir que, existen evidencias significativas de que la cantidad media por m² es mayor que 18 kg.


Ahora, obtendremos el p-valor, para dicho cálculo, debemos tener claro en que condiciones estamos, en nuestro caso, existen una región crítica, por lo tanto, tenemos una cola de probabilidad, el p-valor en estas condiciones, se calcula cómo:

p-valor = P(T > t) = P(T > 2.5)

Buscamos en las tablas de la t-Student con 24 grados de libertad, no encontramos el valor exacto, pero se puede deducir que, dicho valor, se encuentra comprendido entre los siguientes valores:

0.005 < . p-valor < . 0.01

Podemos dar una valor aproximado del p-valor realizando una interpolación lineal:

..0.01...........T....... ..0.005
2.4922.......2.5...... .2.7970

De donde:

0.01 - 0.005.-> 2.4922 - 2.7970
0.01 - T.-> 2.4922 - 2.5

Calculamos:

Al ser el nivel de significación del problema, α = 0.1, mayor que el p-valor, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.