martes, 29 de diciembre de 2009

Problema39: VAD

Ej39. Sea X una variable aleatoria continua que mide la longitud de una determinada pieza, cuya función es:



Hallar:


a) Obtener el valor de b para que sea una función de densidad.

b) Obtener la función de distribución acumulada.


Apartado a)

Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:



En nuestro caso, debemos realizar el estudio en dos intervalos.

· Primer intervalo: 0 < .x ≤ 1:



· Segundo intervalo: 1 < .x ≤ b:



Despejamos y obtenemos:



Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:

1. f(x) > 0,...para todo x.

2.

La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:

-(1/2)·b + 2·b - 1 = 1

Despejamos:

b2 - 4b + 2 = 0

Obtenemos una ecuación cuadrática, en este caso, es fácil factorizarla:

(b-2)2 = 0

Por lo tanto, el valor del parámetro b para que la función dada sea una función de probabilidad, es de 2.

La función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:



Apartado b)

Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:



En nuestro caso, debemos realizar el estudio en dos intervalos.

· Primer intervalo: 0 < .x ≤ 1:



· Segundo intervalo: 1 < .x ≤ 2:



Ya que si x < .0, la función de distribución es 0, y si x > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:


2 comentarios:

Anónimo dijo...

buenas tardes
muchas gracias por este aporte tan grande al aprendizaje de la estadistica.
}
tengo una pregunta: como se puede graficar la funcion de densidad de esta función, como hallar el valor esperado en funciones como esta donde f(x) toma mas de 2 valores, es decir x y 2-x dependiendo de los intervalos

quedo atenta

muchas gracias

Unknown dijo...

Buenas:

Para empezar, deberás decir en que intervalos está definida la función de densidad de probabilidad para poder dibujarla.

De todas formas, si te miras la teoría en este capítulo: Variables Aleatorias Continuas y Distribuciones de Probabilidad, encontrarás cómo obtener la esperanza, varianza, etc.

Y además, los primeros 10 ejercicios (más o menos), encontrarás ejercicios de cómo se representan este tipo de funciones mediante un lenguaje estadístico llamado: R.

Un saludo y gracias por tu comentario.