Problema39: VAD

Ej39. Sea X una variable aleatoria continua que mide la longitud de una determinada pieza, cuya función es:

Hallar:

a) Obtener el valor de b para que sea una función de densidad.

b) Obtener la función de distribución acumulada.


Apartado a)

Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:

En nuestro caso, debemos realizar el estudio en dos intervalos.

· Primer intervalo: 0 < .x ≤ 1:

· Segundo intervalo: 1 < .x ≤ b:

Despejamos y obtenemos:

Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:

1. f(x) > 0,...para todo x.

2.

La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:

-(1/2)·b + 2·b - 1 = 1

Despejamos:

b² - 4b + 2 = 0

Obtenemos una ecuación cuadrática, en este caso, es fácil factorizarla:

(b-2)² = 0

Por lo tanto, el valor del parámetro b para que la función dada sea una función de probabilidad, es de 2.

La función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:

Apartado b)

Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:

En nuestro caso, debemos realizar el estudio en dos intervalos.

· Primer intervalo: 0 < .x ≤ 1:

· Segundo intervalo: 1 < .x ≤ 2:

Ya que si x < .0, la función de distribución es 0, y si x > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación: