Problema20: Fiabilidad

Ej19. La duración en km de la caja de cambio de un motor Diesel de un automóvil sigue una ley exponencial de media 300000 km. Actualmente la garantía que ofrece el fabricante es de 20000 km de funcionamiento del motor.

Determinar:

a) ¿Qué porcentaje de las cajas de cambio fallan durante la garantía?

b) ¿En qué valor se tendrá que fijar la garantía para que fallen un 5% de las cajas de cambio?


Recopilamos información útil que nos ofrece el enunciado del problema:

· Distribución exponencial: Tasa de fallo constante.
· X ≡ 'Duración en km de una caja de cambio de un motor Diesel de un automóvil'.
· Media: MTTF = β = 300000.

En un sistema que sigue una distribución exponencial dada su media, la función de fiabilidad es:

R(t) = e^-t/β = e^-t/300000

Resolvemos los apartados expuestos en el problema.


Apartado a)

Debemos obtener la probabilidad de las cajas de cambios que fallen durante la garantía:

P(T < .20000) = F(20000) = 1-R(20000) = 1-e^{-20000/300000} ≈ 0.064493

Por lo tanto, la probabilidad de que el motor falle durante la garantía es de, aproximadamente 0.064493, una probabilidad baja.


Apartado b)

En este caso, debemos obtener el tiempo para el cual se cumpla la probabilidad dada.

P(T < .t) = F(t) = 1-R(t) = 1-e^-t/300000 = 0.05

Despejamos:

e^-t/300000 = 1-0.05 = 0.95

Aplicamos las propiedades del logaritmo neperiano en ambas partes:

-(t/300000) = Ln(0.95)

Despejamos el parámetro t:

t = -300000·Ln(0.95) ≈ 15387.98832 km

Por lo tanto, para que fallen un 5% de las cajas de cambio la garantía se tendrá que fijar en, aproximadamente 15387.99 km.