Problema47: VAC

Ej47. El número de fallos de un instrumento de prueba debidos a las partículas de un producto es una variable de Poisson con media 0.2 fallos por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 20 y 40 fallos (ambos incluidos) en un periodo de una semana ( funcionando los 7 días, 24 horas diarias)?

Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Nº de fallos de un instrumento de prueba'.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Poisson: X ~ P(0.2).

Debemos adaptar nuestro parámetro promedio ya que el estudio está basado en una jornada de una semana:

..0.2..--- 1
...λ....--- 168

NOTA: Una semana de 7 días cada uno de 24 horas es, en horas: 7·24 = 168 horas.

Por lo tanto, el número medio de fallos por una semana de funcionamiento es:

· λ = (168·0.2)/1 = 33.6

Comprobaremos, si se puede aproximar a la Normal, para ello, se deben cumplir la siguiente condición:

1. λ > 25 → 33.6 > 25 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ N(λ, √λ) = N(33.6, √33.6).

Debemos obtener la siguiente probabilidad:

P(20 ≤ X ≤ 40)

Aplicamos el factor de corrección:

P(19.5 ≤ X ≤ 40.5)

Y en estos momentos estamos en condiciones de tipificar por la Normal:

Por lo tanto:

P(19.5 ≤ X ≤ 40.5) ≈ P(-2.43 ≤ Z ≤ 1.19) = 0.5 + Φ(1.19) - [1 - (0.5 + Φ(2.43))]

Simplificamos:

P(19.5 ≤ X ≤ 40.5) ≈ P(-2.43 ≤ Z ≤ 1.19) = Φ(1.19) + Φ(2.43)

Buscando en la tabla de la Normal, obtenemos la solución a este apartado:

P(19.5 ≤ X ≤ 40.5) ≈ P(-2.43 ≤ Z ≤ 1.19) = Φ(1.19) + Φ(2.43) = 0.3830 + 0.4925 = 0.8755

Por lo tanto, La probabilidad de que el instrumento falle entre 20 y 40 veces (incluidos) en una semana es de 0.8755.