Problema66: Probabilidad

Ej66. Tenemos tres urnas con la composición:

· U1 (1 Blanca, 2 Negra, 3 Roja)
· U2 (2 Blanca, 3 Negra, 4 Roja)
· U3 (4 Blanca, 7 Negra, 5 Roja)

Se elige una al azar y se toma una bola, se pide:

a) Probabilidad de que sea roja.

b) Ha resultado ser blanca. Probabilidad de que proceda de la tercera urna.


Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· B ≡ 'Bola de color blanca'.
· N ≡ 'Bola de color negra'.
· R ≡ 'Bola de color roja'.

Para la Urna 1:
· U₁ ≡ 'Urna 1'. Número total de Bolas: 1+2+3 = 6 bolas.

· P(B|U₁) = 1/6.
· P(N|U₁) = 2/6 = 1/3.
· P(R|U₁) = 3/6 = 1/2.

Para la Urna 2:
· U₂ ≡ 'Urna 2'. Número total de Bolas: 2+3+4 = 9 bolas.

· P(B|U₂) = 2/9.
· P(N|U₂) = 3/9 = 1/3.
· P(R|U₂) = 4/9.

Para la Urna 3:
· U₃ ≡ 'Urna 3'. Número total de Bolas: 4+7+5 = 16 bolas.

· P(B|U₃) = 4/16 = 1/4.
· P(N|U₃) = 7/16.
· P(R|U₃) = 5/16.

Las tres urnas tienen la misma probabilidad de ser escogidas:

· P(U₁) = 1/3.
· P(U₂) = 1/3.
· P(U₃) = 1/3.

Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.


Apartado a)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de obtener una bola de color rojo, para ello, empleamos la Probabilidad Total:

P(R) = P(R|U₁)·P(U₁) + P(R|U₂)·P(U₂) + P(R|U₃)·P(U₃)

Sustituimos valores para obtener la solución a este apartado:

P(R) = (1/2)·(1/3) + (4/9)·(1/3) + (5/16)·(1/3) = 181/432

Por lo tanto, la probabilidad de obtener una bola roja es de, aproximadamente 0.418981.


Apartado b)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que dada que la bola sea blanca, sea de la urna tercera:

Antes, debemos obtener la probabilidad de obtener una bola de color blanca, para ello, empleamos la Probabilidad Total:

P(B) = P(B|U₁)·P(U₁) + P(B|U₂)·P(U₂) + P(B|U₃)·P(U₃)

Sustituimos valores:

P(B) = (1/6)·(1/3) + (2/9)·(1/3) + (1/4)·(1/3) = 23/108

Sustituimos valores para obtener la solución a este apartado:

Por lo tanto, la probabilidad de que dada que la bola sea blanca, es de la urna tercera es de, aproximadamente 0.391304.