Problema40: Estimación y Prueba de Hipótesis

Ej40. Se está investigando la resistencia de dos tipos de alambre, con la siguiente información de muestra:

Resistencia (Ω × 10)
Tipo 1.	1.40.	1.41.	1.39.	1.40.	1.38.	1.44.
Tipo 2	1.35	1.38	1.40	1.39	---	---

Determinar, teniendo e cuenta un nivel de significación del 0.05:

a) Hallar un intervalo de confianza para la varianza de la resistencia de los alambres del Tipo 1.

b) Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de las resistencias medias de los dos tipos de alambre.


En este problema, nos dan los datos de dos muestras aleatorias, por lo que tenemos que obtener la media y la cuasi desviación estándar.

El tamaño de muestra para cada tipo:

· n₁ = 6.
· n₂ = 4.

Para obtener la media:

Por lo tanto:

· X₁ = (1.40 +···+ 1.44)/6 ≈ 1.403333.
· X₂ = (1.35 +···+ 1.39)/4 = 1.38.

Para obtener la cuasi varianza:

Por lo tanto:

· S_c1 ≈ 0.020656.
· S_c2 ≈ 0.021602.

Una vez extraído todos los datos de ambos tipos de alambre, pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el problema.


Apartado a)

En este apartado nos pide realizar un intervalo de confianza para la varianza con la media desconocida:

Para un nivel de significancia de: α = 0.05. El siguiente paso es obtener los valores de:

·

·

Buscamos el valor en la tabla ji-cuadrada, y obtenemos: 12.83 y 0.83 respectivamente.

Por lo tanto, ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza de la varianza con media desconocida, simplemente, sustituimos valores:

El intervalo de confianza bilateral con un nivel de significación del 0.05 es:

[1.662785·10^-3, 2.570303·10^-3]

Apartado b)

En este apartado, debemos obtener un intervalo de confianza para la diferencia de las resistencias medias pero nos encontramos con un problema, las varianzas son desconocidas de ambas muestras pero no sabemos si son iguales o no. Esto es importante ya que dependiendo de dicho matiz, cambia la forma de resolver el problema.

Por lo tanto, lo primero que debemos hacer, es una prueba de hipótesis para dictaminar si ambas varianzas desconocidas son iguales o no.

Tomo como hipótesis nula que ambas varianzas son iguales, siendo la hipótesis alternativa, que no lo son:

Cuyo estadístico es:

Ya disponemos de los datos necesarios para obtener el valor del estadístico:

Para ver si aceptamos la hipótesis nula, debemos calcular la región crítica y evaluar los resultados obtenidos. La región crítica para este estudio es:

F ≥ F_α/2,n1,n2 , F ≤ F_{1-α/2, n1,n2}

Para un nivel de significación: α = 0.05. Por lo tanto:

F ≥ F_{0.025, 5, 3} , F ≤ F_{0.975, 5, 3}

Hay que tener en cuenta que:

Buscamos en la tabla de F de Snedecor:

· F_{0.025, 5, 3} = 14.88
· F_{0.975, 5, 3} = 1/F_{0.025, 3, 5} = 1/7.76 ≈ 0.128866

Comprobamos el valor del estadístico con la región crítica:

El valor del estadístico, 0.914333 está dentro de la región crítica, [0.128866,14.88], por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula.

Esto quiere decir, que existen evidencias significativas de que ambas varianzas de tipos de resistencias de alambre son iguales.

Una vez que sabemos que la varianza de ambas muestras son iguales, pasamos a confeccionar el intervalo de confianza para la diferencia de medias.

Para un nivel de significación del: α = 0.05. El siguiente paso es obtener los valores de:

· t_α/2,n1+n2-2 = t_0.05/2,6+4-2=t_{0.025, 8}

Buscamos el valor en la tabla t-Student, y obtenemos: 2.3060.

Necesitamos obtener el valor de Sp:

Por lo tanto:

Ya disponemos todos los datos necesarios para obtener el intervalo bilateral a un nivel de significación del 0.05, de la diferencia de medias con varianzas desconocidas e iguales:

El intervalo de confianza bilateral es:

[-0.007961, 0.054627]