Problema58: VAC

Ej58. Los distribuidores de una fábrica clasifican sus pedidos atendiendo al material Aluminio y Acero y a la zona de procedencia Zona Norte, Zona Centro y Zona Sur.

El número de pedidos X es una variable de Poisson de parámetro 267 pedidos/mes, determinar:

a) Hallar la probabilidad de que en un mes se reciban a lo más, 250 pedidos.

b) Hallar la probabilidad de que en dos meses se reciban a lo más, 500 pedidos.


Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el enunciado:

· Sea la variable aleatoria X, número de pedidos por mes.
· La variable aleatoria discreta X sigue una distribución Poisson: X ~ P(267)

Pasamos a resolver los apartados que nos ofrece el enunciado del problema.


Apartado a)

Debemos obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≤ 250)

Determinaremos, si se puede aproximar a la Normal, para ello, se deben cumplir la siguiente condición:

1. λ > 25 → 267 > 25 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ N(λ, √λ) = N(267, √267).

Aplicamos el factor de corrección:

P(X ≤ 250) = P(X ≤ 250.5)

Y en estos momentos estamos en condiciones de tipificar por la Normal:

Obtenemos:

P(X ≤ 250) = 1 - P(Z < .1.01) = 1 - [0.5 + Φ(1.01)] = 0.5 - Φ(1.01)

Buscando en la tabla de la Normal, obtenemos la solución a este apartado:

P(X ≤ 250) = 0.5 - Φ(1.01) = 0.5 - 0.3438 = 0.1562

Por lo tanto, la probabilidad de que en un mes se reciban como máximo 250 pedidos, es de 0.1562.


Apartado b)

Debemos obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≤ 500)

Tenemos que adaptar nuestro parámetro promedio ya que el estudio está basado en dos meses:

..1....--- 267
..2....--- λ

Por lo tanto, el número medio de pedidos/mes es:

· λ = (2·267)/1 = 534

Determinaremos, si se puede aproximar a la Normal, para ello, se deben cumplir la siguiente condición:

1. λ > 25 → 534 > 25 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ N(λ, √λ) = N(534, √534).

Aplicamos el factor de corrección:

P(X ≤ 500) = P(X ≤ 500.5)

Y en estos momentos estamos en condiciones de tipificar por la Normal:

Obtenemos:

P(X ≤ 500) = 1 - P(Z < .1.45) = 1 - [0.5 + Φ(1.45)] = 0.5 - Φ(1.45)

Buscando en la tabla de la Normal, obtenemos la solución a este apartado:

P(X ≤ 500) = 0.5 - Φ(1.45) = 0.5 - 0.4265 = 0.0735

Por lo tanto, la probabilidad de que en dos meses se reciban como máximo 500 pedidos, es de 0.0735.