Problema48: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej48. En una piscifactoría se desea comparar el porcentaje de peces adultos que miden menos de 20 cm con los que miden más de 40 cm. Para ello se toma una muestra de 200 peces observando que 40 de ellos miden menos de 20 cm y 57 más de 40 cm.

Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones al nivel de confianza del 95%.


Realizamos un recopilatorio de los datos ofrecidos en el enunciado del problema:

· X₁ ≡ 'Nº peces adultos que miden menos de 20 cm'. Sigue una distribución Binomial: X₁ ~ B(200, 40/200) = B(200, 0.2).
· X₂ ≡ 'Nº peces adultos que miden más de 40 cm'. Sigue una distribución Binomial: X₂ ~ B(200, 57/200) = B(200, 0.285).

Nos pide realizar un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones con n₁ y n₂, mayor o igual que 30:

Para un 95%, obtenemos α:

100(1 - α) = 95

Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.05. El siguiente paso es obtener el valor de la z:

· z_α/2 = z_0.05/2 = z_0.025

Teniendo en cuenta las características de las tablas que dispone Aqueronte de la Normal, adecuamos dicho valor:

0.5 - 0.025 = 0.475

Tenemos que buscar el valor de z que satisfaga la probabilidad de 0.475, y dicho valor es 1.96.

Por lo tanto, ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones con un 95%, simplemente, sustituimos valores:

Por lo tanto, el intervalo de confianza requerido por el enunciado del problema es, aproximadamente:

[-0.168591, -0.001409]