martes, 13 de julio de 2010

Problema59: VAC

Ej59. Un transportista cuando llega a la fábrica tiene que descargar el material transportado. El tiempo de espera hasta que es atendido X1 es una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1).

El tiempo que tarda en descargar
X2 se distribuye en forma exponencial con parámetro medio 0.5.

Los tiempos X1 y X2 son independientes y se miden en horas. Sean los sucesos A ≡ 'Tiempo de espera es inferior a 0.75 horas' y B ≡ 'Tiempo de descarga es superior a 0.5 horas'.

Hallar la probabilidad P(A ∪ B).



Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el problema:

· X1 ≡ 'Tiempo de espera hasta que es atendido'.
· La variable X1 se distribuye de forma uniforme: X1 ~ U(0, 1)

· X2 ≡ 'Tiempo que tarda en descargar'.
· La variable X2 se distribuye de forma exponencial: X2 ~ Exp(0.5)

· Ambas variables aleatorias son independientes entre sí.

Nos ofrecen dos eventos:

· A ≡ 'Tiempo de espera es inferior a 0.75 horas'.
· Dicho suceso sigue una distribución uniforme cómo en la variable aleatoria X1.

Para resolver dicho evento, empleamos la función de distribución acumulada de la distribución uniforme:




Por lo tanto:

F(A) = P(X1 < .0.75) = (0.75-0)/(1-0) = 0.75.

Y para el otro evento que nos dicta el enunciado del problema:

· B ≡ 'Tiempo de descarga es superior a 0.5 horas'.
· Dicho suceso sigue una distribución exponencial cómo en la variable aleatoria X2.

Debemos emplear la función de distribución acumulada de la distribución exponencial:



Por lo tanto:

P(X2 >.0.5) = 1 - P(X2 ≤ 0.5) = 1 - [1 - e-0.5/0.5] = e-1 ≈ 0.367879

En estos momentos, podemos obtener la probabilidad que nos piden en este problema:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)= 0.75 + 0.367879 - 0.75·0.367879 ≈ 0.841970

Por lo tanto, la solución es, 0.841970.

3 comentarios:

Anónimo dijo...

hola buenas tardes estaba revisando este ejercicio y tengo una pequeña duda, vera en el enunciado dice que x1 y x2 son independientes, entonces al hacer la union de los probabilidades solo sera P(A) +P(B) me equivoco??

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

¡Cuidado! El enunciado dice que ambos elementos son independientes, es decir:

· P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

No que sean mutuamente excluyente:

· P(A U B) = P(A) + P(B)

Tienes que prestar más atención a las definiciones de los sucesos, te recomiendo que te mires el apartado de Probabilidad del curso de Estadística.


Un saludo.

Anónimo dijo...

ok gracias pensaba que independiente tambien significaba excluyentes.