Problema51: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej51. En una experiencia genética se extraen 20 moscas de una caja experimental. Medida la longitud del ala en cada mosca se obtuvieron los siguientes valores:

93.

90.

97.

90.

93.

91.

96.

94..

91..

91.

88.

93.

95.

91.

89.

92.

87.

88.

90.

86

Suponiendo que la longitud del ala sigue una distribución normal y a un nivel de confianza al 95%, hallar:

a) Un intervalo de confianza para el parámetro µ.

b) Un intervalo de confianza para el parámetro σ².


En este problema, nos dan los datos de una muestra aleatoria, obtendremos la información que nos será necesaria para la resolución de este problema.

El tamaño de la muestra es:

· n = 20

Para obtener la media:

Por lo tanto:

·

Para obtener la cuasi varianza:

Por lo tanto, la cuasi desviación típica:

· S_c ≈ 2.935715

Para una confianza del 95%, obtenemos α:

100(1 - α) = 95

Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.05.

Pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el problema.


Apartado a)

En este problema nos pide realizar un intervalo de confianza para la media con varianza desconocida y el tamaño de la muestra es menor que 30:

El siguiente paso es obtener el valor de la t:

· t_α/2,n-1 = t_{0.05/2, 20-1} = t_{0.025, 19}

Buscamos el valor en la tabla t-Student, y obtenemos: 2.0930.

Por lo tanto, ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza de la media con un 95%, simplemente, sustituimos valores:

El intervalo de confianza bilateral al 95% es, aproximadamente:

[89.876059, 92.623941]

Apartado b)

En este apartado nos pide realizar un intervalo de confianza para la varianza con la media desconocida:

Para un nivel de significancia de: α = 0.05. El siguiente paso es obtener los valores de:

· X²_α/2,n-1 = X²_{0.05/2, 20-1} = X²_{0.025, 19}

· X²_1-α/2,n-1 = X²_{1-0.05/2, 20-1} = X²_{0.975, 19}

Buscamos el valor en la tabla ji-cuadrada, y obtenemos: 32.85 y 8.91 respectivamente.

Por lo tanto, ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza de la varianza con media desconocida, simplemente, sustituimos valores:

El intervalo de confianza bilateral al 95% es, aproximadamente:

[4.984780, 18.378230]