Problema52: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej52. En el equipo de análisis que acompaña a los acuarios para la determinación de la dureza del agua de los mismos en %, se indica que la varianza de las determinaciones es igual o menor que el 5%.

Llevamos a cabo 20 determinaciones de la dureza del agua del acuario y obtenemos una varianza para los mismos igual al 6%. Si la variable determinación de la dureza del agua es normal, ¿aceptaremos la indicación con un nivel de significación de 0.01?.


Recopilamos los datos importantes que nos ofrece el enunciado del problema:

· Tamaño de la muestra: n = 20.
· Varianza muestral: S²_c = 0.06.
· X ≡ 'Determinación de la dureza del agua' X ~ N(μ, σ)
· Nivel de significación: α = 0.01.

La prueba de hipótesis que plantea el enunciado del problema es:

Es un contraste de varianza con media desconocida y sigue una distribución normal, el estadístico es:

Obtenemos el valor del estadístico:

Para comprobar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula, empleamos la región crítica, que para esta prueba es:

X² ≥ X²_{α, n-1}

Para un nivel de significación de: α = 0.01, tenemos, en la tabla ji-Cuadrada:

· X²_{α, n-1} = X²_{0.01, 20-1} = X²_{0.01, 19} = 36.19

Comprobamos el valor del estadístico con la región crítica:

El valor del estadístico, 22.8 es menor que el valor de la región crítica, 36.19, por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula. Esto quiere decir, que existen evidencias significativas de que la varianza de la muestra planteada por el enunciado del problema es de valor 5% o inferior.

Ahora, vamos a obtener el p-valor de la prueba, para dicho cálculo, debemos tener claro en que condiciones estamos, en nuestro caso, la hipótesis alternativa evalúa si es mayor el valor del estadístico, por lo tanto, tenemos una cola de probabilidad, el p-valor en estas condiciones, se calcula cómo:

p-valor = P(X² > x²)

Buscamos en las tablas de la ji-Cuadrada con 19 grados de libertad, no encontramos el valor exacto, pero está dentro de los valores: 21.69 < . 22.8 < . 23.90, cuya área de cola corresponde a: 0.2 < . α < . 0.3.

Por lo tanto, el p-valor estará comprendido entre los valores:

0.2 < . p-valor < . 0.3

Podemos dar un valor aproximado del p-valor realizando una interpolación lineal:

.0.300......X.......0.200
..21.69.....22.8......23.90

De donde:

0.300 - 0.200.-> 21.69 - 23.90
0.300 - X.-> 21.69 - 22.8

Calculamos:

Por lo tanto, el p-valor es:

p-valor = P(X² > 22.8) = 0.249774

Conclusión, el nivel de significación, α = 0.01, es más pequeño que el p-valor, por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula.

Aceptar la hipótesis nula quiere decir que en la varianza de la muestra del problema, existen evidencias significativas de que su varianza sea de valor 5% por lo que se refuta el estudio realizado anteriormente mediante la región crítica.