Problema53: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej53. Queremos comparar dos métodos rápidos para estimar la concentración de una hormona en una solución. Tenemos 10 dosis preparadas en el laboratorio y vamos a medir la concentración de cada una con los dos métodos.

Se obtienen los siguientes resultados:

Método A	10.7	11.2	15.3	14.9	13.9	15	15.6	15.7	14.3	10.8
Método B	11.1	11.4	15	15.1	14.3	15.4	15.4	16	14.3	11.2

Suponiendo independencia y normalidad, determinar al 90%:

a) Un intervalo de confianza para el cociente de varianzas.

b) La diferencia de concentraciones medias.


Recopilamos y obtenemos datos que nos serán de utilidad para posteriormente, resolver los distintos apartados.

Para obtener la media:

Por lo tanto:

·

·

Para la cuasi desviación típica de cada muestra:

Para cada método, las desviaciones estándar son:

· S²_cA ≈ 4.149333

· S²_cB ≈ 3.695111

Para un 90%, obtenemos α:

100(1 - α) = 90

Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.1.

En estos momentos, tenemos todos los elementos necesarios para resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema.


Apartado a)

En este apartado nos piden obtener un intervalo de confianza al 90% para el cociente de varianzas con medias desconocidas:

Para un nivel de significación de: α = 0.1, buscamos en tabla distribución F:

· f_{1-α/2,n1-1,n2-1} = f_{1-0.1/2,10-1,10-1} = f_{0.95, 9, 9} = 1/f_{1-0.95, 9, 9} = 1/f_{0.05, 9, 9} = 1/3.18 ≈ 0.314465

· f_{α/2,n1-1,n2-1} = f_{0.1/2,10-1,10-1} = f_{0.05, 9, 9} = 3.18

Sustituimos valores:

Por lo tanto, el intervalo de confianza es, aproximadamente:

[0.353121, 3.570907]

Apartado b)

En este apartado nos piden obtener un intervalo de confianza para la diferencia de medias de ambos métodos, pero nos encontramos con un problema, las varianzas son desconocidas de ambas muestras pero no sabemos si son iguales o no. Esto es importante ya que dependiendo de dicho matiz, cambia la forma de resolver el problema.

Por lo tanto, lo primero que debemos hacer, es una prueba de hipótesis para dictaminar si ambas varianzas desconocidas son iguales o no.

Tomo como hipótesis nula que ambas varianzas son iguales, siendo la hipótesis alternativa, que no lo son:

Cuyo estadístico es:

Ya disponemos de los datos necesarios para obtener el valor del estadístico:

Para ver si aceptamos la hipótesis nula, debemos calcular la región crítica y evaluar los resultados obtenidos. La región crítica para este estudio es:

F ≥ F_{α/2,n1-1,n2-1} , F ≤ F_{1-α/2, n1-1,n2}-1

Para un nivel de significación de: α = 0.1, buscamos en tabla distribución F:

· f_{1-α/2,n1-1,n2-1} = f_{1-0.1/2,10-1,10-1} = f_0.95,9,9 = 1/f_1-0.95,9,9 = 1/f_0.05,9,9 = 1/3.18 ≈ 0.314465

· f_{α/2,n1-1,n2-1} = f_{0.1/2,10-1,10-1} = f_0.05,9,9 = 3.18

Comprobamos el valor del estadístico con la región crítica:

El valor del estadístico, 1.122925 está dentro de la marcada por la región crítica, [0.314465, 3.18], por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula.

Una vez que sabemos que la varianza de ambas muestras son iguales, pasamos a confeccionar el intervalo de confianza para la diferencia de medias.

El siguiente paso es obtener los valores de:

· t_α/2,n1+n2-2 = t_{0.1/2,10+10-2}=t_{0.05, 18}

Buscamos el valor en la tabla t-Student, y obtenemos: 1.7341.

Necesitamos obtener el valor de Sp:

Sustituimos valores:

Ya disponemos todos los datos necesarios para obtener el intervalo bilateral de confianza al 90% de la diferencia de medias con varianzas desconocidas e iguales:

El intervalo de confianza bilateral al 90% es:

[-1.065689, 0.705689]

Al contener el elemento cero el intervalo de confianza para la diferencia de las muestras, se puede concluir que dicho estudio no es significativo.