Problema69: VAC

Ej69. Dada la variable aleatoria X, cuya función de densidad es:

Hallar:

a) Determinar el valor de k para que f(x) sea una función de densidad legítima.

b) Obtener la la media y la varianza de la variable Y = 3X − 1.


Apartado a)

Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:

Para los intervalos expuestos en el enunciado del problema, en este caso:

Sustituimos valores:

P(0 < .X< .1) = k(1 - 0) - (k/3)(1³) - 0³ = k - k/3 = (2/3)·k

Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:

1. f(x) > 0,...para todo x.

2.

La función f(x) es mayor que cero, para ello, k debe ser mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la segunda condición:

k = 3/2

Y así, obtenemos el valor de k y la solución de este apartado, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, el valor de k es de 3/2.

Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:

Apartado b)

En este apartado, debemos calcular la esperanza y la desviación estándar de la variable aleatoria continua, Y = 3X - 1.

Manipulamos la expresión de la variable continua Y:

· E[Y] = 3E[X] - E[1] = 3E[X] - 1

Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión:

Por lo tanto, la esperanza de Y, será:

Sustituimos valores y obtenemos la esperanza de la variable aleatoria continua Y:

Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:

Var[X] = E(X²) - [E(X)]²

Por lo tanto:

Sustituimos valores y obtenemos la varianza de la variable aleatoria continua Y: