Problema33: Análisis de Regresión

Ej33. En una planta se destila aire líquido para producir oxígeno, nitrógeno y argón. Se cree que el porcentaje de impurezas del oxígeno esta relacionado con la cantidad de impurezas que hay en el aire (medida mediante el conteo en partes por millón).

Se midió la cantidad de impurezas en 8 muestras de aire líquido y la pureza del oxígeno obtenido a partir de este, con los siguientes resultados:

P........	93.3	92	92.4	91.7	94	94.6	93.6.	93.1
C	1.1.	.1.45.	.1.36.	.1.59.	.1.08.	.0.75.	1.2	0.99

Siendo:

· P ≡ Pureza del oxígeno (%).
· C ≡ Contaminación (ppm).

Obtener:

a) La recta de ajuste mediante regresión lineal que relacione la pureza del oxígeno y la contaminación del aire.

b) El coeficiente de correlación.

c) Utilizar el modelo para hallar la predicción de la pureza del oxígeno cuando el aire líquido presenta una contaminación de 1.5 ppm.


Antes de empezar a resolver los apartados propuestos, hacemos una recopilación de datos que podemos extraer de la tabla dada, ya que posteriormente serán de gran utilidad.

Donde:

· X ≡ Contaminación (ppm).
· Y ≡ Pureza del oxígeno (%).

· n = 8

·

·

·

·

·

Pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema.


Apartado a)

Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:

Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx:

·

·

Por lo tanto, la pendiente es:

Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada:

Sustituimos valores:

Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:

y(x) = 97.137323 - 3.403213·x

Apartado b)

Para saber si existen relación entre las variables, obtendremos el coeficiente de correlación, empleamos su expresión matemática:

Debemos obtener el valor de Syy:

·

Sustituimos valores y obtenemos el resultado del coeficiente de determinación:

Por lo tanto, la relación entre las variables es de, aproximadamente 91.84%, al estar próximo a ±1 podemos determinar que existen evidencias significativas para decir que existen relación entre ambas variables.


Apartado c)

En este apartado, debemos obtener el valor mediante la recta ajustada.

y(x) = 97.137323 - 3.403213·x

· Para C = 1.5:

y(1.5) = 97.137323 - 3.403213·1.5 ≈ 92.032504

Por lo tanto, para una contaminación en el aire líquido de 1.5 ppm se pronostica que su pureza de oxígeno (%) es, aproximadamente de 92.032504.