Problema89: Probabilidad

Ej89. En la agencia tributaria cuando se recogen las declaraciones de renta se clasifican en dos apartados. En la sección A se recogen las declaraciones cuyo resultado ha sido positivo, y en la sección B se recogen las declaraciones negativas.

Lamentablemente, ha habido un error de organización y el 15% de las declaraciones positivas ha sido entregado a la sección B mientras que las declaraciones negativas se han entregado el 12% a la sección A.

Este año hay el triple de declaraciones de la renta en la sección A que en la B.

Determinar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona haya presentado una declaración positiva?

b) ¿Qué probabilidad hay de tener mal clasificada una declaración?

c) ¿Qué probabilidad hay de encontrar una declaración que sea positiva en la sección B?


Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· A ≡ 'Declaraciones de la renta en el apartado A'.
· B ≡ 'Declaraciones de la renta en el apartado B'.

· P(A) = 3/4.
· P(B) = 1/4.

· E ≡ 'Declaraciones de la renta con resultado positivo'.

· P(B|E) = 0.15.
· P(A|Ē) = 0.12.

Pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema.


Apartado a)

Nos piden obtener la probabilidad de entregar una declaración con resultado positivo, para tal fin, emplearemos la Ley de la Probabilidad Total:

P(E) = P(E|A)·P(A) + P(E|B)·P(B)

Con los datos que nos ofrece el enunciado, por dicha vía no sería posible obtenerla, así que buscaremos obtenerla de otra manera, por ejemplo, si enunciamos la probabilidad de que la declaración de la renta esté en el apartado A:

P(A) = P(A|E)·P(E) + P(A|Ē)·P(Ē)

Por este camino si podemos obtener la probabilidad que nos piden, manipulamos la expresión:

P(A) = P(A|E)·P(E) + P(A|Ē)·P(Ē) = [1-P(B|E)]·P(E) + P(A|Ē)·[1-P(E)]

Sustituimos valores:

P(A) = [1 - 0.15]·P(E) + 0.12·[1-P(E)] = 0.73·P(E) + 0.12 = 3/4

Despejamos el parámetro que nos interesa para resolver este apartado:

P(E) = [3/4 - 0.12]/0.73 = 63/73

Por lo tanto, la probabilidad de que una declaración sea de resultado positivo es de, aproximadamente 0.863014.


Apartado b)

Para afrontar este apartado, debemos previamente definir el siguiente suceso:

· M ≡ 'Declaración mal clasificada'.

Y tanto la probabilidad que nos piden como la definición del suceso es la que se muestra a continuación:

P(M) = P(A ∩ Ē) + P(B ∩ E) = P(A|Ē)·P(Ē) + P(B|E)·P(E) = P(A|Ē)·[1 - P(E)] + P(B|E)·P(E)

Sustituimos valores:

P(M) = 0.12·(1 - 63/73) + 0.15·63/73 = 213/1460

Por lo tanto, la probabilidad de que una declaración de la renta esté mal clasificada es de, aproximadamente 0.145890.


Apartado c)

Nos piden obtener la probabilidad de que dada que la declaración de la renta esté en el apartado B, sea positiva, emplearemos para tal fin la Ley de Bayes:

Por lo tanto, la probabilidad de que dada que la declaración de la renta esté en el apartado B, sea ésta positiva es de, aproximadamente 0.517808.