Problema100: Probabilidad

Ej100. Un determinado producto químico puede contener tres sustancias tóxicas, éstas son: A, E y O, que son motivo de sanción por el Ministerio de Medio Ambiente. Por la experiencia, se sabe que de cada 1000 unidades producidas, aproximadamente 15 tienen el elemento A, 17 el E y 21 el C.

Además se sabe que de dichas unidades producidas se obtienen 10 elementos de A y E, 9 de E y O, 7 de A y O, y finalmente, 970 no contienen ninguno de los tres elementos.

Un inspector selecciona una unidad al azar. Obtener:

a) La probabilidad de que la empresa sea sancionada (aparezca alguno de los elementos tóxicos).

b) La probabilidad de que se solo se encuentre el elemento A.

c) La probabilidad de que se detecten solamente, los elementos A y E.

d) La probabilidad de que se detecte más de un elemento.



Recopilamos información del enunciado del problema. Definimos los elementos:

· A ≡ 'Elemento tóxico A'
· E ≡ 'Elemento tóxico E'
· O ≡ 'Elemento tóxico O'

De cada 1000 muestras producidas, la probabilidad de presencia de cada elemento es la siguiente:

· P(A) = 15/1000 = 0.015
· P(E) = 17/1000 = 0.017
· P(O) = 21/1000 = 0.021

· P(A ∩ E) = 10/1000 = 0.01
· P(E ∩ O) = 9/1000 = 0.009
· P(A ∩ O) = 7/1000 = 0.007

· P(Ā ∩ Ē ∩ Ō) = 970/1000 = 0.97

Ya estamos en disposición de obtener las soluciones de los apartados del enunciado de este problema.

Apartado a)

En este apartado nos piden la probabilidad de que la empresa sea sancionada, para ello, debe estar presente al menos, uno de los elementos tóxicos en el producto químico, en otras palabras:

· P(A ∪ E ∪ O) = P(A) + P(E) + P(O) - P(A ∩ E) - P(E ∩ O) - P(A ∩ O) + P(A ∩ E ∩ O)

Para obtener la solución a este apartado, nos falta saber el valor del séptimo elemento en la expresión anterior: P(A ∩ E ∩ O), para obtenerlo, nos vamos a basar en el siguiente elemento conocido:

· P(Ā ∩ Ē ∩ Ō) = P[(1- A) ∩ (1 - E) ∩ (1 - O)]

Operamos:

 · P(Ā ∩ Ē ∩ Ō) = 1 - P(A) - P(E) - P(O) + P(A ∩ E) + P(E ∩ O) + P(A ∩ O) - P(A ∩ E ∩ O)

Al tener todos los datos disponibles, sustituimos el valor que deseamos calcular:

 · P(A ∩ E ∩ O) = 1 - 0.015 - 0.017 - 0.021 + 0.01 + 0.009 + 0.007 - 0.97 = 0.003

Ya estamos en disposición de obtener la solución a este apartado:

· P(A ∪ E ∪ O) = 0.015 + 0.017 + 0.021 - 0.01 - 0.009 - 0.007 + 0.003 = 0.03

Por lo tanto, la probabilidad de que la empresa sea sancionada por el Ministerio de Medio Ambiente es de 0.03.

· NOTA: Otra forma más fácil y rápida de obtener la solución a este apartado es la siguiente:

Sustituimos valores:

· P(A ∪ E ∪ O) = 1 - 0.97 = 0.03

Como se puede comprobar, da el mismo resultado. En el apartado se ha optado por la forma larga (y algo tediosa) para resolverlo ya que el resultado intermedio obtenido nos será de utilidad en los posteriores apartados.


Apartado b)

En este apartado nos piden la probabilidad de que solo aparezca el elemento tóxico A, por lo tanto, tenemos:

· P(A ∩ Ē ∩ Ō) =  P[A ∩ (1 - E) ∩ (1 - O)]

Operamos:

 · P(A ∩ Ē ∩ Ō) = P(A) - P(A ∩ E) - P(A ∩ O) + P(A ∩ E ∩ O)

Sustituimos valores para obtener la solución a este apartado:

 · P(A ∩ Ē ∩ Ō) = 0.015 - 0.01 - 0.007 + 0.003 = 0.001

Por lo tanto, la probabilidad de que solo aparezca el elemento tóxico A en el producto químico es de 0.001.


Apartado c)

En este apartado nos piden la probabilidad de que aparezcan los elementos tóxicos A y E, por lo tanto, tenemos:

· P(A ∩ E ∩ Ō) =  P[A ∩ E ∩ (1 - O)]

Operamos:

 · P(A ∩ E ∩ Ō) = P(A ∩ E) - P(A ∩ E ∩ O)

Sustituimos valores para obtener la solución a este apartado:

 · P(A ∩ E ∩ Ō) = 0.01 - 0.003 = 0.007

Por lo tanto, la probabilidad de que aparezcan los elementos tóxicos A y E en el producto químico es de 0.007.


Apartado d)

En este apartado nos piden la probabilidad de que aparezcan más de un elemento tóxico, por lo tanto, tenemos:

· P[(A ∩ E ∩ Ō) ∪ (A ∩ E ∩ O) ∪ (A ∩ Ē ∩ O) ∪ (Ā ∩ E ∩ O)]

Los elementos 1 y 2 de la expresión anterior ya los tenemos calculados, nos faltan los dos restantes, vamos a obtenerlos:

· [El.3] P(A ∩ Ē ∩ O) = P[A ∩ (1 - E) ∩ O] = P(A ∩ O) - P(A ∩ E ∩ O) = 0.007 - 0.003 = 0.004
· [El.4] P(Ā ∩ E ∩ O) = P[(1 - A) ∩ E ∩ O] = P(E ∩ O) - P(A ∩ E ∩ O) = 0.009 - 0.003 = 0.006

 Ya tenemos todos los datos necesarios para obtener la solución a este apartado, sustituimos valores:

 · P[(A ∩ E ∩ Ō) ∪ (A ∩ E ∩ O) ∪ (A ∩ Ē ∩ O) ∪ (Ā ∩ E ∩ O)] = 0.007 + 0.003 + 0.004 + 0.006 = 0.02

Por lo tanto, la probabilidad de que aparezcan más de un elemento tóxico en el producto químico es de 0.02.