Problema82: Estimación y Pruebas de Hipótesis

You also can read this text in English! Problem82: Hypothesis Test

Ej82. Una marca de refrescos de cola, dice que sus latas contienen 33 cl de refresco. Para comprobarlo se escogen aleatoriamente 50 latas. La media fue de 32 cl y la desviación típica muestral de 2 cl.

Si se asume que el estudio sigue una distribución normal, ¿se puede decir, con un nivel de confianza del 95%, que están engañando a los consumidores?


Realizamos una recopilación de los datos ofrecidos por el enunciado del problema:

· Tamaño de la muestra: n = 50.
· Media muestral: x = 32.
· Desviación típica muestral: Sc = 2.
· X ≡ 'Contenido, cl, de refresco en una lata'.
· Sigue una distribución Normal: X ~ N(32, 2)

La prueba de hipótesis que plantea el enunciado del problema es:

Es un contraste de media con desviación estándar desconocida y el tamaño de la muestra mayor que 30, el estadístico es:

Obtenemos el valor del estadístico:

Para comprobar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula, empleamos la región crítica, que para esta prueba es:

Z ≤ - z_α

Obtenemos el parámetro α: 100(1 - α) = 95, despejamos: α = 0.05.

· z_α = z_0.05

Teniendo en cuenta las características de las tablas que dispone Aqueronte de la Normal, adecuamos dicho valor:

0.5 - 0.05 = 0.45

Es este caso, no está el valor exacto, por lo que realizamos una interpolación lineal:

..1.64.............Z..........1.65
0.4495........0.45.....0.4505

De donde:

1.64 - 1.65.---> 0.4495 - 0.4505
1.64 - Z..---> 0.4495 - 0.45

Calculamos:

Comprobamos el valor del estadístico con la región crítica:

El valor del estadístico, -3.535534 es menor que el valor de la región crítica, -1.645, por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la Hipótesis alternativa.

Esto quiere decir que, existen evidencias significativas de que la cantidad media de refresco en las latas es inferior a 33 cl, en otras palabras, la marca de refrescos de cola están engañando a los consumidores.


Ahora, obtendremos el p-valor, para dicho cálculo, debemos tener claro en que condiciones estamos, en nuestro caso, existen una región crítica, por lo tanto, tenemos una cola de probabilidad, el p-valor en estas condiciones, se calcula cómo:

p-valor = P(Z >|z|) = P(Z > |-3.535534|) ≈ 1 - P(Z ≤ 3.54) = 1 - [0.5 + Φ(3.54)]

Operamos y buscamos en las tablas de la Normal:

p-valor = 0.5 - Φ(3.54) = 0.5 - 0.4998 = 0.0002

Al ser el nivel de significación del problema, α = 0.05, mayor que el p-valor, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.

Queda demostrado por ambos métodos de que la marca de refrescos miente al consumidor.