Análisis de Regresión Lineal.

En este capítulo se abordará las expresiones matemáticas básicas para el estudio de Análisis de Regresión Lineal.

Se entiende por análisis de regresión a la técnica estadística para el diseño de modelos que involucran relaciones entre variables.

Regresión Lineal Simple.

Suponemos (x_i, y_i) con i = 1, ..., n, y que las coordenadas y_i, dependen linealmente de las coordenadas x_i.

Entonces, Y_x es una variable aleatoria que contiene la información para y_i futura, el modelo lineal está definido por:

Y_|x = β₀ + β₁·x + ε

Donde:

· x ≡ Variable de predicción (no aleatoria).
· Y ≡ Variable de respuesta (aleatoria).
· β₀ y β₁ ≡ Parámetros del modelo (constantes desconocidas).
· ε ≡ Error aleatorio.

Una aproximación al modelo lineal es la ecuación de regresión:

μ_Y|x = β₀ + β₁·x

La ecuación de regresión estimada es:

Y la ecuación de regresión ajustada es:

y = b₀ + b₁·x

Donde:

· μ_Y|x ≡ Valor medio de Y para un valor dado de x.

·  ≡ Estimador de μ_Y|x.
· y ≡ Valor numérico del estimador.
·  y   ≡ Estimadores de β₀ y β₁ respectivamente.
· b₀ y b₁ ≡ Valor numérico de los estimadores.


Métodos de Mínimos Cuadrados.

Partimos de una muestra aleatoria de la forma {(x₁, Y_|x1), (x₂, Y_|x2), ..., (x_n, Y_|xn)}, según el modelo lineal, debe cumplirse:

Y_i = β₀ + β₁·x_i + ε_i

Llamando:

El método consiste en minimizar esta suma de cuadrados. Los parámetros útiles que se obtienen son:

·

·

Siendo:

·

·

El coeficiente de determinación viene dado por la expresión:

Su rango es: -1 ≤ R ≤ 1.


Propiedades de los Estimadores de Mínimos Cuadrados.

Los estimadores son insesgados de los parámetros β₀ y β₁ respectivamente y sus varianzas son:

·

·

El estadístico:

Es un estimador insesgado del parámetro: σ².


Algunas Ecuaciones de Ajustes No Lineales.

Ecuación Original	Ecuación Linealizada	Variables
Y = a·eb·x	ln(Y) = ln(a) + b·x	Y* = ln(Y) x* = x
Y = a·xb	ln(Y) = ln(a) + b·ln(x)	Y* = ln(Y) x* = ln(x)
Y = ea·x+b	ln(Y) = a + b·x	Y* = ln(Y) x* = x
Y = 10a·x+b	log(Y) = a + b·x	Y* = log(Y) x* = x
	1/Y = a + b·x	Y* = 1/Y x* = x
	1/Y = a + b·(1/x)	Y* = 1/Y x* = 1/x

Para concluir, se dispondrá un fichero en formato .pdf, que contiene todas las expresiones útiles para el estudio y cálculo del análisis de regresión lineal, donde se incluyen las expresiones matemáticas para determinar:

• Pruebas de Hipótesis sobre los Coeficientes de Regresión.

• Intervalos de Confianza para los Coeficientes de Regresión.

• Intervalo de Confianza para la Respuesta Media.

• Intervalo de Predicción para Observaciones Futuras.

Una muestra del contenido del fichero, se muestra a continuación:

AnálisisDeRegresión

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Se puede descargar el formulario de este tema: Análisis de Regresión, anteriormente mostrado, en el siguiente enlace:

		Análisis de Regresión.
		Análisis de Regresión.

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A continuación, se disponen de una colección de problemas resueltos.

Problemas: Análisis de Regresión.
Problema 1	Problema 11	Problema 21	Problema 31
Problema 2	Problema 12	Problema 22	Problema 32
Problema 3	Problema 13	Problema 23	Problema 33
Problema 4	Problema 14	Problema 24	Problema 34
Problema 5	Problema 15	Problema 25
Problema 6	Problema 16	Problema 26
Problema 7	Problema 17	Problema 27
Problema 8	Problema 18	Problema 28
Problema 9	Problema 19	Problema 29
Problema 10	Problema 20	Problema 30