sábado, 23 de mayo de 2009

Análisis de Regresión Lineal.

En este capítulo se abordará las expresiones matemáticas básicas para el estudio de Análisis de Regresión Lineal.

Se entiende por análisis de regresión a la técnica estadística para el diseño de modelos que involucran relaciones entre variables.

Regresión Lineal Simple.

Suponemos (xi, yi) con i = 1, ..., n, y que las coordenadas yi, dependen linealmente de las coordenadas xi.

Entonces, Yx es una variable aleatoria que contiene la información para yi futura, el modelo lineal está definido por:

Y|x = β0 + β1·x + ε

Donde:

· x ≡ Variable de predicción (no aleatoria).
· Y ≡ Variable de respuesta (aleatoria).
· β0 y β1 Parámetros del modelo (constantes desconocidas).
· ε ≡ Error aleatorio.

Una aproximación al modelo lineal es la ecuación de regresión:

μY|x = β0 + β1·x

La ecuación de regresión estimada es:


Y la ecuación de regresión ajustada es:

y = b0 + b1·x

Donde:

· μY|x Valor medio de Y para un valor dado de x.
· Estimador de μY|x.
· y ≡ Valor numérico del estimador .
· y Estimadores de β0 y β1 respectivamente.
· b0 y b1 Valor numérico de los estimadores y .


Métodos de Mínimos Cuadrados.

Partimos de una muestra aleatoria de la forma {(x1, Y|x1), (x2, Y|x2), ..., (xn, Y|xn)}, según el modelo lineal, debe cumplirse:

Yi = β0 + β1·xi + εi

Llamando:


El método consiste en minimizar esta suma de cuadrados. Los parámetros útiles que se obtienen son:

·

·

Siendo:

·

·

El coeficiente de determinación viene dado por la expresión:



Su rango es: -1 ≤ R ≤ 1.


Propiedades de los Estimadores de Mínimos Cuadrados.

Los estimadores y son insesgados de los parámetros β0 y β1 respectivamente y sus varianzas son:

·

·

El estadístico:


Es un estimador insesgado del parámetro: σ2.


Algunas Ecuaciones de Ajustes No Lineales.

Ecuación OriginalEcuación LinealizadaVariables
Y = a·eb·xln(Y) = ln(a) + b·xY* = ln(Y)
x* = x
Y = a·xbln(Y) = ln(a) + b·ln(x)Y* = ln(Y)
x* = ln(x)
Y = ea·x+bln(Y) = a + b·xY* = ln(Y)
x* = x
Y = 10a·x+blog(Y) = a + b·xY* = log(Y)
x* = x
1/Y = a + b·xY* = 1/Y
x* = x
1/Y = a + b·(1/x)Y* = 1/Y
x* = 1/x



Para concluir, se dispondrá un fichero en formato .pdf, que contiene todas las expresiones útiles para el estudio y cálculo del análisis de regresión lineal, donde se incluyen las expresiones matemáticas para determinar:

  • Pruebas de Hipótesis sobre los Coeficientes de Regresión.

  • Intervalos de Confianza para los Coeficientes de Regresión.

  • Intervalo de Confianza para la Respuesta Media.

  • Intervalo de Predicción para Observaciones Futuras.
Una muestra del contenido del fichero, se muestra a continuación:

AnálisisDeRegresión

Se puede descargar el formulario de este tema: Análisis de Regresión, anteriormente mostrado, en el siguiente enlace:

Análisis de Regresión.
Análisis de Regresión.


A continuación, se disponen de una colección de problemas resueltos.

Problemas: Análisis de Regresión.
Problema 1Problema 11Problema 21Problema 31
Problema 2Problema 12Problema 22Problema 32
Problema 3Problema 13Problema 23Problema 33
Problema 4Problema 14Problema 24Problema 34
Problema 5Problema 15Problema 25
Problema 6Problema 16Problema 26
Problema 7Problema 17Problema 27
Problema 8Problema 18Problema 28
Problema 9Problema 19Problema 29
Problema 10Problema 20Problema 30